[2018年必威体育精装版整理]26行列式按一行(列)展开-河西学院.pptVIP

上一节我们利用行列式的性质把一个行列式化为上三角或下三角行列式，然后根据定义算出行列式的值，或者把一个行列式化成其中含有尽量多个零的行列式，然后算出行列式的值。本节我们沿着另一条思路来计算行列式的值，即通过把高阶行列式转化为低阶行列式来计算行列式的值。 三、小结 一、余子式、代数余子式 二、行列式按行(列)展开法则 三、小结 §2.6 行列式按一行（列）展开 例如 如果我们能把n阶行列式转化为n-1阶行列式，把n-1阶行列式转化为n-2阶，…，而行列式的阶数越小越容易计算，我们就可以化繁为简，化难为易，从而尽快算出行列式的值。 为了这个目的，我们需引进如下概念： 一、余子式、代数余子式 定义1 在 n 级行列式 中将元素 所在的 第 i 行与第 j 列划去，剩下 个元素按原位置 次序构成一个 级的行列式， 称之为元素 的余子式,记作 ． 令 称 之为元素 的代数余子式． 注： ① 行列式中每一个元素分别对应着一个余子式 和代数余子式． 无关，只与该元素的在行列式中的位置有关． ② 元素 的余子式和代数余子式与　 的大小 例如 引理 一个 阶行列式，如果其中第 行所有元素除 外都为零，那末这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即 ． 例如 二 、行列式按行(列)展开法则 先考虑比较特殊的情况，即一个n阶行列式中某一行（列）除一个元素外，其余元素都为零的情况，这时有以下引理. 证 当 位于第一行第一列时, 即有 又 从而 在证一般情形, 此时 得 得 中的余子式 故得 于是有 定理1 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 证 例1 证 用数学归纳法 例2 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式 n-1阶范德蒙德行列式 推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 证 同理 相同 关于代数余子式的重要性质 例３ 计算行列式 解 按第一行展开，得 例４ 计算行列式 解