[2018年必威体育精装版整理]22全概率公式与贝叶斯公式.ppt

* * * * 2.2. 全概率公式与贝叶斯公式 解 2.2.1全概率公式 因为 Ｂ＝ＡＢ∪ ，且ＡＢ与 互不相容，所以 ＝ 0.6 一个盒子中有６只白球、４只黑球，从中不放回地每次任取１只，连取２次，求第二次取到白球的概率。 例 A={第一次取到白球} 全概率公式 　　 设Ａ1 ，Ａ2 ，...，Ａn 构成一个完备事件组，且Ｐ(Ａi )＞0 ，i＝1，2，...，n，则对任一随机事件Ｂ，有 定理（全概率公式） 例 设播种用麦种中混有一等，二等，三等，四等四个等级的种子，分别各占95.5％，2％，1.5％，1％，用一等，二等，三等，四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，求这批种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率． 解 设从这批种子中任选一颗是一等，二等，三等，四等种子的事件分别是Ａ1，Ａ2，Ａ3，Ａ4，则它们构成完备事件组，又设Ｂ表示任选一颗种子所结的穗含有50粒以上麦粒这一事件，则由全概率公式： ＝95.5％×0.5＋2％×0.15＋1.5％×0.1＋1％×0.05 ＝0.4825 例 在对空演习中，某高射炮的目标是正在行进中的一架飞机. 已知该炮能击中发动机、机舱及其他部位的概率分别是0.10，0.08，0.39.又若击中上述部位而使飞机坠毁的概率分别是0.95，0.89，0.51。试求该炮任意发射一发炮弹使飞机坠毁的概率。 解 设B1，B2，B3，B4，分别表示炮弹击中发动机、机舱、其他部位以及未击中飞机的事件，A为飞机坠毁的事件。已知P(B1)=0.10, P(B2)=0.08, P(B3)=0.39, P(B4)=1-0.10-0.08-0.39=0.43,则由全概率公式： 例 袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球。今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，问第二个人取得黄球的概率是多少？ 解 设A为“第二个人得黄球”的事件。B表示“第一个人得黄球”的事件，则由全概率公式： 例 5张卡片上分别标有数字1，2，3，4，5，每次从中任取一张，连取两次。（1）若第一次取出的卡片不放回，求第二次取出的卡片上的数字大于第一次取出的数字的概率；（2）若第一次取出的卡片放回，求第二次取出的卡片上的数字大于第一次取出的数字的概率。 解 （1）不放回抽样的情况 由全概率公式得： （2）有放回抽样的情况 2.2.2贝叶斯公式 Bayes’ Theorem 后验概率 设A1，A2，…, An构成完备事件组，且诸P（Ai）0) B为样本空间的任意事件，P（ B） 0 , 则有 ( k =1 , 2 , … , n) 证明 定理贝叶斯公式 Bayes’ Theorem 例1 设某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25 %， 35%， 40%，而且各车间的次品率依次为 5% ，4%， 2%．现从待出厂的产品中检查出一个次品，试判断它是由甲车间生产的概率． 解 设Ａ1 ，Ａ2 ，Ａ3 分别表示产品由甲、乙、丙车间生产，Ｂ表示产品为次品． 显然，Ａ1 ，Ａ2 ，Ａ3 构成完备事件组．依题意，有 Ｐ(Ａ1)＝ 25% , Ｐ(Ａ2)= 35% , Ｐ(Ａ3)＝ 40%, Ｐ(Ｂ|Ａ1)＝ 5% , Ｐ(Ｂ|Ａ2)＝4% , Ｐ(Ｂ|Ａ3)＝ 2% Ｐ(Ａ1|Ｂ)＝ 例2 已知在所有男子中有5%，在所有女子中有0.25%患有色盲症。随机抽一人发现患色盲症，问其为男子的概率是多少？（设男子和女子的人数相等）。 解 设 A表示抽到的为男子，B表示抽到的是女子。 则 C表示抽到的人有色盲症。 由Bayes公式有