[2018年必威体育精装版整理]2017_2018学年高中数学第二讲参数方程一曲线的参数方程1参数方程的概念学案含解析新人教A版选修4_4.docVIP

一 曲线的参数方程 1．参数方程的概念 1．参数方程的概念 在平面直角坐标系中，曲线上任一点的坐标x，y都是某个变数t的函数：，并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程组就叫这条曲线的参数方程，t叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出坐标间关系的方程叫做普通方程． 2．参数的意义 参数是联系变数x，y的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数． 　　　　　　　　　　求曲线的参数方程 　如图，ABP是等腰直角三角形，B是直角，腰长为a，顶点B，A分别在x轴、y轴上滑动，求点P在第一象限的轨迹的参数方程． 　此类问题的关键是参数的选取．本例中由于A，B的滑动而引起点P的运动，故可以OB的长为参数，或以角为参数，不妨取BP与x轴正向夹角为参数来求解． 　法一：设P点的坐标为(x，y)，过P点作x轴的垂线交x轴于点Q. 如图所示，则RtOAB≌Rt△QBP. 取OB＝t，t为参数(0＜t＜a)． |OA|＝， |BQ|＝. 点P在第一象限的轨迹的参数方程为(0＜t＜a)． 法二：设点P的坐标为(x，y)，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，如图所示． 取QBP＝θ， θ为参数， 则ABO＝－θ. 在RtOAB中， |OB|＝acos＝asin θ. 在RtQBP中， |BQ|＝acos θ，|PQ|＝asin θ. 点P在第一象限的轨迹的参数方程为 . 求曲线参数方程的主要步骤 第一步，画出轨迹草图，设M(x，y)是轨迹上任意一点的坐标．画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系． 第二步，选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标x，y与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x，y的值可以由参数唯一确定．例如，在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数．此外，离某一定点的“有向距离”，直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数． 第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略． 1．设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆做匀角速度运动，角速度为 rad/s，试以时间t为参数，建立质点运动轨迹的参数方程． 解：如图，运动开始时质点位于点A处， 此时t＝0，设动点M(x，y)对应时刻t，由图可知(θ为参数)， 又θ＝t， 故参数方程为(t为参数)． 2．选取适当的参数，把直线方程y＝2x＋3化为参数方程． 解：选t＝x，则y＝2t＋3. 由此得直线的参数方程为(t为参数)． 也可选t＝x＋1，则y＝2t＋1. 参数方程为(t为参数). 　　　　　　　　参数方程表示的曲线上的点 　已知曲线C的参数方程是 (t为参数)． (1)判断点M1(0,1)，M2(5,4)与曲线C的位置关系； (2)已知点M3(6，a)在曲线C上，求a的值． 　由参数方程的概念，只需判断对应于点的参数是否存在即可，若存在，说明点在曲线上，否则不在曲线上． 　(1)把点M1的坐标(0,1)代入方程组，得 解得t＝0.点M1在曲线C上． 同理，可知点M2不在曲线C上． (2)点M3(6，a)在曲线C上， 解得t＝2，a＝9. a＝9. 参数方程是曲线方程的另一种表达形式，点与曲线位置关系的判断，与平面直角坐标方程下的判断方法是一致的． 3．曲线(x－1)2＋y2＝4上的点可以表示为(　　) A．(－1＋cos θ，sin θ)　　　 B．(1＋sin θ，cos θ) C．(－1＋2cos θ，2sin θ) D．(1＋2cos θ，2sin θ) 解析：选D　将点的坐标代入方程，使方程成立的即可． 4．已知某条曲线C的参数方程为(其中t为参数，aR)，点M(5,4)在该曲线上，求常数a. 解：点M(5,4)在曲线C上， 解得 a的值为1.课时跟踪检测(七)一、选择题 1．下列方程可以作为x轴的参数方程的是(　　) A.(t为参数) B.(t为参数) C.(θ为参数) D.(t为参数) 解析：选D　x轴上的点横坐标可取任意实数，纵坐标为0. 2．已知曲线C的参数方程为(θ为参数，π≤θ2π)，若点Μ(14，a)在曲线C上，则a等于(　　) A．－3－5 B．－3＋5 C．－3＋ D．－3－ 解析：选A　(14，a)在曲线C上， 由，得cos θ＝.又π≤θ＜2π， sin θ＝－＝－， tan θ＝－. a＝5·(－)－3＝－3－5. 3．在方程(θ为参数)所表示的曲线上的一点的坐标为(　　) A．(2，－7) B. C. D．(1,0) 解析：选C　将点的坐标代入参数方程，若能求出θ，则点在曲线上，经检验，知C满足条件． 4．由方程x2＋y2