[2018年必威体育精装版整理]1函数的单调性与导数__高2013级.pptVIP

证明：令f(x)=e2x－1－2x. ∴f′(x)=2e2x－2=2(e2x－1) ∵x＞0，∴e2x＞e0=1，∴2(e2x－1)＞0, 即f′(x)＞0 ∴f(x)=e2x－1－2x在(0，+∞)上是增函数. ∵f(0)=e0－1－0=0. ∴当x＞0时，f(x)＞f(0)=0，即e2x－1－2x＞0. ∴1+2x＜e2x 2.当x＞0时，证明不等式：1+2x＜e2x. 分析：假设令f(x)=e2x－1－2x.∵f(0)=e0－1－0=0, 如果能够证明f(x)在(0，+∞)上是增函数，那么f(x)＞0，则不等式就可以证明. 点评：所以以后要证明不等式时，可以利用函数的单调性进行证明，把特殊点找出来使函数的值为0. * （4）.对数函数的导数: （5）.指数函数的导数: （3）.三角函数 ： （1）.常函数：(C)/ ? 0, (c为常数)； （2）.幂函数 ： (xn)/ ? nxn?1 复习：基本初等函数的导数公式 单调性的定义 对于函数y＝f(x)在某个区间上单调递增或单调递减的性质，叫做f(x)在这个区间上的单调性，这个区间叫做f(x)的单调区间。 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数． 判断函数单调性有哪些方法？ 比如：判断函数 的单调性。 x y o 函数在 上为____函数， 在 上为____函数。 图象法 定义法 减 增 如图： 思考：那么如何求出下列函数的单调性呢? (1)f(x)=2x3-6x2+7 (2)f(x)=ex-x+1 (3)f(x)=sinx-x 发现问题：用单调性定义讨论函数单调性虽然 可行，但十分麻烦，尤其是在不知道函数图象 时。例如：2x3-6x2+7，是否有更为简捷的方法 呢？下面我们通过函数的y=x2－4x＋3图象来 考察单调性与导数有什么关系 2 y x 0 . . . . . . . 再观察函数y=x2－4x＋3的图象： 总结: 该函数在区间（－∞，2）上单减,切线斜率小于0,即其导数为负; 而当x=2时其切线斜率为0,即导数为0. 函数在该点单调性发生改变. 在区间（2，+∞）上单增,切线斜率大于0,即其导数为正. x y O x y O x y O x y O y = x y = x2 y = x3 观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函数正负的关系. 结论：在某个区间(a,b)内,如果 ,那么函数 在这个区间内单调递增; 如果 ,那么函数 在这个区间内单调递减. 如果在某个区间内恒有f′(x)=0,则f(x)为常数函数 注意：应正确理解 “ 某个区间 ” 的含义,它必是定义域内的某个区间。 课本思考 思考1：如果在某个区间内恒有 ，那么函数 有什么特性？ 几何意义： 关系： 思考2：结合函数单调性的定义，思考某个区间上函数 的平均变化率的几何意义与导数正负的关系。 例1、已知导函数 的下列信息： 当1x4时， 0; 当x4,或x1时， 0; 当x=4,或x=1时， =0.则函数f(x)图象的大致形状是(　　）。 x y o 1 4 x y o 1 4 x y o 1 4 x y o 1 4 A B C D D 导函数f’(x)的------与原函数f(x)的增减性有关 正负 1．应用导数求函数的单调区间 (选填:“增” ,“减” ,“既不是增函数,也不是减函数”) (1) 函数y=x－3在[－3，5]上为__________函数。 (2) 函数 y = x2－3x 在[2，+∞)上为_____函数， 在(－∞,1]上为______函数。 基础训练： 增 增 减 求函数 的单调区间。 变1：求函数 的单调区间。 理解训练： 解： 的单调递增区间为 单调递减区间为 解： 的单调递增区间为 单调递减区间为 变3：求函数 的单调区间。 变