[2018年必威体育精装版整理]1_必威体育精装版_有限单元法的基本概念和理论基础.pptVIP

结构分析中的有限单元法 By Xiaojun Wang 可以证明，如果弹性体内任一点，已知这三个垂直方向的正应变及其相应的三个剪应变，则该点任意方向的正应变和任意二垂直线间的剪应变均可求出，当然也可求出它的最大和最小正应变。因此，这六个量可以完全确定该点的应变分量，它们就称为该点的应变分量。六个应变分量的总体，可以用一个列向量来表示： 应变分量向量 结构分析中的有限单元法 By Xiaojun Wang 由几何方程可见，当弹性体的位移分量完全确定时，应变分量是完全确定的。反过来，当应变分量完全确定时，位移分量却不完全确定；这是因为，具有确定形状的物体，可能发生不同的刚体位移。为了说明这一点，试在几何方程中令： 有： 积分后，得 式中的 是积分常数 刚体位移 结构分析中的有限单元法 By Xiaojun Wang 如果弹性体的各面有剪应力作用，任何两坐标轴的夹角的改变仅与平行于这两轴的剪应力分量有关，即得到： 式中G称为剪切模量，它与弹性模量E，泊松系数μ 存在如下的关系： 正应变与剪应变是各自独立的。因此，由三个正应力分量与三个剪应力分量引起的一般情形的应变，可用叠加法求得，如左式，称为弹性方程或物理方程，这种空间状态的应力应变关系称为广义虎克定律。 应力应变关系—物理方程 结构分析中的有限单元法 By Xiaojun Wang 将应变分量表示为应力分量的函数，可称为物理方程的第一种形式。若将其改写成应力分量表为应变分量的函数的形式，可得物理方程的第二种形式： 应力应变关系—物理方程 结构分析中的有限单元法 By Xiaojun Wang 用矩阵的形式表示如下： 可简写为： 应力应变关系—物理方程 结构分析中的有限单元法 By Xiaojun Wang D称为弹性矩阵，它完全决定于弹性常数E和μ。 应力应变关系—物理方程 结构分析中的有限单元法 By Xiaojun Wang 弹性力学的基本方程和相应的边界条件，把弹性力学问题归结为在给定边界条件下求解偏微分方程的边值问题。自从建立弹性力学以来，人们用各种偏微分方程的解法求得了许多弹性力学问题的解析解。然而，随着工业技术的发展，工程结构的形状也越来越复杂，很多问题得不到解析解，因而需求助于数值解，而变分原理则是许多数值解的基础。弹性力学问题，在数学上就是空间连续场的确定问题。变分法就是把它归结为一个泛函变分的极值问题或驻值问题。 变分原理 结构分析中的有限单元法 By Xiaojun Wang 讨论一个连续介质问题的“变分原理”首先要建立一个标量泛函∏，它由积分形式确定 其中u是未知函数，F和E是特定的算子，Ω是求解域，Γ是Ω的边界。∏ 称为未知函数u的泛函，随函数u的变化而变化。连续介质问题的解u使泛函∏对于微小的变化δu取驻值，即泛函的“变分”等于零 这种求得连续介质问题解答的方法称为变分原理或变分法。 变分原理与微分方程和边界条件是两种等价的表达形式，一方面满足微分方程及边界条件的函数将使泛函取极值或驻值，另一方面从变分的角度来看，使泛函取极值或驻值的函数正是满足问题的控制微分方程和边界条件的解答。 变分原理 结构分析中的有限单元法 By Xiaojun Wang 将虚功原理用于弹性变形时，总功W要包括外力功(T)和内力功(U)两部分，即： W = T - U ；内力功(-U)前面有一负号，是由于弹性体在变形过程中，内力是克服变形而产生的，所有内力的方向总是与变形的方向相反，所以内力功取负值。 根据虚功原理，总功等于零得： T - U = 0 即，外力虚功 T = 内力虚功 U 弹性力学中的虚功原理可表达为：在外力作用下处于平衡状态的弹性体，如果发生了虚位移，那么所有的外力在虚位移上的虚功(外力功)等于整个弹性体内应力在虚应变上的虚功(内力功)。 虚功原理 其中 即为系统的总势能，它是弹性体变形势能和外力势能之和。上面变分为零式表明：在所有区域内满足几何关系，在边界上满足给定位移条件的可能位移中，真实位移使系统的总势能取驻值(可证明此驻值为最小值)。 根