[2018年必威体育精装版整理]17讲：ch6-2(复化求积).pptVIP

主要内容： 一、 牛顿-柯特斯公式 二、 复化梯形公式 三、 复化辛普森求积公式 主要内容： 1:牛顿-柯特斯公式 2:复化梯形公式 3:复化辛普森求积公式 第2节 复化求积公式 复化求积公式 主要内容 由于高阶N-C公式不稳定， 为了提高精度把积分 区间分成若干子区间,再在每个子区间上用低阶求积 公式。这种方法称为复化求积法. 牛顿-柯特斯公式. 牛顿—柯特斯公式 N=1时的牛-柯公式 N=2时的牛-柯公式 余项为: 余项为: 牛顿—柯特斯公式 复化梯形公式： 情形1 求和可得 复化梯形公式 复化梯形 公式 复化梯形公式 由梯形公式的截断误差，有 复化梯形公式 事实上 复化梯形公式 因此，无论n多大，复化梯形公式是数值稳定的。 复化梯形公式 复化辛普森求积公式 情形2 复化辛普森公式 复化辛普森公式 复化辛普森公式 复化辛普森公式 注意 事实上 复化辛普森公式 例1 解 NIntegrate[Sin[1/x],{x,1,1.5}] 答案： 0.360811 例 题 1 估计误差: 注意 若使用梯形公式 例 题 1 例2 解 例 题 2 f[x_]:=Sin[1/x]; x[k_]:=a+k*h; a=1;b=1.5;h=(b-a)/10; A=h/3*(f[a]+4*Sum[f[x[2k-1]] ,{k,1,5}]+2*Sum[f[x[2k]],{k,1,4}]+f[b]); N[%] 例 题 2 估计误差 这说明使用复化梯形公式计算量比复化辛普森公式大得多 例 题 2 用误差估计公式不仅可以计算所求近似值的误差，还可由给定的精度估计应取多大的步长。 例3 若用复化求积公式计算积分 的近似值，要求计算结果有四位有效数字，n应取多大？ 解 例 题 3 所以若用复化梯形公式，n应等于41才达到精度 若用复化辛普森公式，则 例 题 3 例4 解 将[0,1]8等分用复化梯形公式与复化辛普森 公式都需要提供9个点上的函数值。 例 题 4 例 题 4 先用辛普森公式 0.9460831 0.9460833 0.9456908 比较 例 题 4 例 题 4 误差估计 例 题 4 f[x_]:=Sin[x]/x; a=0;b=1; h[n_]:=(b-a)/n; f[0]=1; x[k_]:=a+k*h[n]; T[n_]:=h[n]/2*(f[a]+f[b]+2*Sum[f[x[k]],{k,1,n-1}]); N[Table[T[n],{n,1,15}],6]; MatrixForm[%] NIntegrate[Sin[x]/x,{x,0,1}] 复化梯形公式 Clear[h,a,b,f]; f[x_]:=Sin[x]/x; a=0;b=1; hh[m_]:=(b-a)/(2*m); f[0]=1; x[k_]:=a+k*hh[m]; TT[m_]:=hh[m]/3*(f[a]+f[b]+2*Sum[f[x[2k]], {k,1,m-1}]+4*Sum[f[x[2k-1]],{k,1,m}]); N[Table[TT[m],{m,1,5}],6]; MatrixForm[%] NIntegrate[Sin[x]/x,{x,0,1}] 复化辛普森公式 本 节 小 结