[2018年必威体育精装版整理]14-3-1格林公式.pptVIP

区域连通性的分类 * * * 一、格林 (Green)公式 §3 格林公式、曲线积分与路径的无关性 区域 D 边界L 的正向:当人沿边界行走时， 区域D总在他的左边 定理14.3.1 则有 ( 格林公式 ) 若函数 在闭区域 D 上具有连续一阶偏导数, 其中 L 为区域 D 的边界曲线，并取正方向. 证 (i) 若D 既是 X - 型区域 , 则 又是 Y - 型区域 , 设 即 同理可证 ① ② ①、②两式相加得: 若D 是由一条按段光滑的闭曲线围成，且不满足 X 型又是 Y 型的区域 , 如图， 以上条件, 的格林公式，并相加即可. 则可用几段光滑曲线将其分为有限个既是 然后逐块按(i)得到它们 (iii) 若D 是由几条闭曲线围成，如图，这时可适当 证毕 添加直线段 AB，CE，把区域化为(ii)的情况处理. 为便于记忆，格林公式： 也可写成下述形式： 例1 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明 证 则 利用格林公式,得 令 其中L是曲线|x|+|y|=1围成的区域D的正向边界。 例2 计算积分 解 1 1 -1 -1 L D y x O ① ② ③ ④ 例3 计算 其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) , B(0,1) 为顶点的三角形闭域 . 解 令 , 则 利用格林公式 , 有 例4 计算 其中L 为上半 从 O (0, 0) 到 A (4, 0). 解 为了使用格林公式, 添加辅助线段 它与L 所围区域为D , 则 原式 例5 计算 其中曲线 AB 是半径为 r 的圆在第一象限部分. 解 设 D 是半径为 r 的圆域 在第一象限部分，设其边界为 L， 记 -L 为边界的顺时针方向， 应用格林公式有 例6 计算 其中L为一无重点 且不过原点的分段光滑正向闭曲线. 解 令 设 L 所围区域为D, 当 时， 由格林公式知 记 L 和 lˉ 所围的 在D 内作圆周 取逆时 针方向, l 的顺时针方向记为 lˉ , 区域为D1，对区域 D1 应用格林公式 , 得 注1 注2 注3 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积 例如, 椭圆 所围面积 解 解 (如下图) 思路: 闭合 非闭 闭合 非闭 补充曲线或用公式 解 设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域. 复连通区域 单连通区域 D D 定理14.3.2 设D 是单连通域 , 在D 内具有一阶连续偏导数, (i) 沿D 中任意按段光滑闭曲线 L ,有 (ii) 对D 中任一按段光滑曲线 L, 曲线积分 (iii) (iv) 在 D 内处处成立 与路径无关, 只与 L 的起点及终点有关. 函数 则以下四个条件等价: 是 D 内是某一函数 的全微分, 即 证明 (i) (ii) 设 为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲 线, 则 (根据条件(i)) 所以 证明 (ii) (iii) 在D内取定点 因曲线积分 则 同理可证 因此有 和任一点B( x, y ), 与路径无关, 有函数