[2018年必威体育精装版整理]131张艳-埃尔米特(Hermite)插值逼近的C语言程序.docVIP

论文题目：埃尔米特（Hermite） 插值逼近的C语言程序 院 系： 数学科学学院 专 业： 数学与应用数学 姓 名： 张 艳 学 号： 指导教师： 侯 存 贵 完成时间： 2007-5-15 埃尔米特（Hermite） 插值逼近的C语言程序 张艳 包头师范学院数学科学学院 摘要：本文主要探讨埃尔米特（Hermite） 插值逼近的C语言程序算法，着重分析其推导过程，并给出了其C语言程序以及埃尔米特（Hermite）插值逼近的简单应用. 关键词：Hermite插值多项式;插值条件; Hermite插值基函数. 一、Hermite插值多项式定义 定义： 设基点互异.给定,,.要求插值多项式满足 （1） 则称为二重密切Hermite插值多项式，简称为Hermite插值多项式.称为二重插值基点. （1）式共有个条件，因此Hermite插值多项式通常次数不超过，故可将记为. 二、埃尔米特（Hermite）插值多项式的存在唯一性 定理：关于互异基点满足条件（1）的二重密切次Hermite插值多项式存在且唯一. 证明：设有2n+1次多项式 （2） 满足条件（1）即 （3） 由（2）式知（3）式是一个关于的阶线性方程组.的存在唯一性决定于（3）式为齐次线性方程系组，即当=0，=0（）时，（3）式仅有平凡解 .现用反证法证明：若齐次方程组有非平凡解，则表示存在一个次数不高于的多项式满足 为的互异的二重零点，即次多项式有个零点（包括重数），这和代数基本定理相矛盾. 三、埃尔米特（Hermite）插值多项式的构造 由定理知存在且唯一，我们用类似于拉格朗日插值多项式的构造方法来构造Hermite插值多项式 设，，，分别满足插值条件 （4） （5） (其中表示克罗内克（Kronecker）符号.当， 时=1；当，时=0.)的次多项式，于是次数不超过次多项式 能够满足插值条件 .因而就是所要求的次多项式.因此只要构造出满足条件（4）（5）的和即可.我们把满足插值条件（4）（5）的次多项式和（）称为Hermite插值基函数.下面构造和 由于关于基点的拉格朗日基函数满足 （ ，）且是次多项式，结合插值条件（4）设为，则依据条件（4）要求应有 当时，由于 故 当时应有 从中解出 可得 从而得到 设为 则 依据条件（5）要求应有 当时，由于 故 当时，故也应有 而 故 即 因此，我们得到埃尔米特插值函数的基函数为 根据插值条件，利用二重密切的Hermite插值基函数的性质，Hermite插值多项式可简单地表示为 四、埃尔米特（Hermite）插值多项式误差 在求解某些数学问题时，用有限的过程代替无限过程所产生的误差称为截断误差（或方法误差）. 定理：a：设的导数于[a,b]连续，于(a,b)内存在， （）互异； b:为Hermite插值多项式； 则 . 其中与有关。 五、埃尔米特(hermite)插值程序 功能：给定个基点，（）上的函数值及一阶导数值，，用埃尔米特（Hermite）插值公式计算出给定插值点处的函数近似值. 程序如下： #include stdio.h #include stdlib.h #include math.h #include ctype.h #define EPSILON 1.0e-12 #define N 3 double hermite(double x,double xi[N],double yi[N],double dyi[N]) { int i,j; static double li,sum,y,gix[N],hix[N]; for(i=0;iN;i++) { li=1.0;sum=0.0; for(j=0;jN;j++) if(j!=i) { if(fabs(xi[i]-xi[j])EPSILON) { printf(The interpolation base points overlapping!\n); printf(Strike any key to exit!\n); getch(); exit(1); }