[2018年必威体育精装版整理]06年1月远程期末《高等代数二》复习提要及补充题(王颖坚).docVIP

北京大学现代远程教育05年秋季学期 ，如果 A 的主对角线上有一个元素 ，那么 A 不是正定矩阵。 （ 对 ？ 错 ？） 答：对。 （ 提示：用主子式判断。参看习题5.5第3题） 设 A 是实的 n 阶可逆矩阵，则 是正定矩阵。 （ 对 ？ 错 ？） 解：因 A 可逆，，故 与单位矩阵 E 合同，所以 正定。 （对） 3. 是负定二次型的充要条件是它的矩阵A的n个顺序主子式都小于零。 （ 对 ？ 错 ？） 解：错。 负定的充要条件是 A的顺序主子式 满足 例如： 是负定的，但是其2阶顺序主子式大于零。 4. 设 是 阶实对称矩阵， ，则存在实维向量 ，使 。 （ 对 ？ 错 ？） 解：因 ，则 不是正定的，也不是半正定的，故有实维向量 ，使 。 （ 对。参看复习题5第10题 ） 在实数域上，矩阵 与 是合同的。 （ 对 ？ 错 ？） 解： 的顺序主子式 2 ，，故 正定。 的顺序主子式 1 ， ，故 非正定。 因非退化线性替换不改变实对称矩阵的正定性，即，合同变换不改变实对称矩阵的正定性，所以 与 不是合同的。 设是阶实对称矩阵，有阶实矩阵, 使 ， 则二次型 是半正定的。 （ 对？ 错？ ） 解： 对。 因为对于任意实向量 ，可令 则有 （参看复习题5 第8题） 如果3阶实对称矩阵A 的三个顺序主子式都大于零，则A的所有主子式 都大于零。 （ 对？ 错？ ） 答：对 。 实对称矩阵A，如果不是正定矩阵，是半正定矩阵，那么A 的行列式 。 （ 对 ？ 错 ？） 解：因A是半正定矩阵，则可经非退化线性替换 X=CY 将二次型化 为规范形，其正惯性指数 。故有可逆矩阵C使 其中主对角线上 1 的个数为， 从而有 ，（ ） 即 ，所以 。 （对） 9. 矩阵 A 与 B 等价 是 矩阵 A 与 B 合同的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要的条件 答：选 B 。 10．设两个n 阶矩阵 A与B 相似，则 （ ） （A）A与B 合同 （B）A与B不合同 （C）A与B等价 （D）A与B不等价 答：C 11．设两个n阶矩阵A与B有相同的特征多项式，则 （ ） （A）A与B相似 （B）A与B合同 （C）A与B等价 （D）以上三条都不成立 答：D 12．设A是n阶可逆矩阵，则 （ ） （A）A与E相似 （B）A与E合同 （C）A与E等价 （D）A与E相等 答：C 13. 实二次型 是（ ） A. 正定的 B. 负定的 C. 不定的 D. 半正定的 解： ， 令 即 或写成 X=CY 其中 是可逆矩阵。于是有规范形 ， 则正惯性指数 ，故实二次型为半正定。（答：D） 14.实二次型 是（ ） A. 负定的 B. 半负定的 C. 不定的 D. 半正定的 解：＝，其中 实二次型的负惯性指数＝2 3 ，故二次型是半负定的。 15.实二次型 是（ ） A. 正定的 B. 半正定的 C. 不定的 D. 半负定的 解： （规范形） 其中已令 即 则正惯性指数 二次型的秩， 故二次型正定。 16 . 若 与 分别是正定和半正定二次型，则它 们的和 是 （ ） A. 正定二次型 B. 半正定二次性 C. 不定二次型 D. 半负定二次型 答：A （用定义） 17.二次型 的矩阵 A 的所有主对角线元素 是 为正定二次型的 （ ） A. 充分条件