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浙江师范大学《初等数论》考试卷（A1卷） 填空（30分） 1、d（1000）= 。φ（1000）= 。()=______ 。 2、 ax+bY=c有解的充要条件是 。 3、被3除后余数为 。 4、[X]=3，[Y]=4，[Z]=2，则[X—2Y+3Z]可能的值为 。 5、φ（1）＋φ（P）＋…φ（）= 。 6、高斯互反律是 。 7、两个素数的和为31，则这两个素数是 。 8、带余除法定理是 。 解同余方程组（12分） A、叙述威尔逊定理。 B．证明若，则m为素数（10分） 四．解方程 ≡0（mod　２７） （10分） 设2Ｐ+1为素数,试证 （10分） ? 设P=4n+3是素数，证明当q=2p+1也是素数时，梅森数不是素数。（10分） 证 无正整数解。（8分） 设n是大于2的整数，证明为偶数（10分） 答案 1、16．2340，1 2、（a，b）|c 3、1 4、3，4，5，6，7，8，9，10，11 5、 6、 ，p，q为奇素数 7、2，29 8、a，b是两个整数，b0,则存在两个惟一的整数q，r使得 答案 解：因为（12，10）|6-（-2），（10，15）|6-1，（12，15）|1-（-2） 所以同余式组有解 原方程等价于方程 即 由孙子定理得 答案 A．(威尔逊定理)整数 是素数，则 证：若m不是素数，则m=ab， ，则 ，则有 不可能，所以m是素数。 答案 解：由 ≡0（mod3）得 得x=1+3t代入 ≡0 （mod9）有 有 代入x=1+3t得 代入 ≡0 （mod27）有 代入有 ， 即 答案 证：因n=2Ｐ+1为素数，由威尔逊定理 即有 即证 答案 证：因q=8n+7，由性质2是q=8n+7的平方剩余， 即 所以梅森数 不是素数。 ? 答案 证：假设 有解，设（x，y，z）是一组正整数解，则有x是3的倍数，设x=3x1,又得到y为3的倍数，设 ,又有 ， 则有解 且zz1 这样可以一直进行下去，zz1z2 z3z4… 但是自然数无穷递降是不可能的，于是产生了矛盾 ? 答案 证：因为（-1，n）=1，由欧拉定理有 ，因为n大于2，只有 为偶数。 浙江师范大学《初等数论》考试卷（B1卷） 填空（30分） 1、d（37）= 。σ（37）= 。 2、φ（1）＋φ（P）＋…φ（）= 。 3、不能表示成5X+3Y（X、Y非负）的最大整数为 。 4、7在2004！中的最高幂指数是 。 5、（1501 ，300）= 。 6、有解的充要条件是 。 7、威尔逊定理是 。 8、写出6的一个绝对值最小的简化系 。 9、被7除后的余数为 。 解同余方程组（12分） 证明当是奇数时，有.（10分） 如果整系数的二次三项式 时的值都是奇数，证明 没有整数根（8分） 解方程.（10分） 证明：用算术基本定理证明是无理数。（10分） 七、证明：对任何正整数ｎ,若ｎ不能被4整除，则有 　5| （10分） 八、解不定方程 （10分） 答案: 1、2，38 2、 3、7 4、331 5、1 6、 7、P为素数， 8、1，5 9、5 答案: 解：因为5,7,8两两互素,所以可以利用孙子定理. . 解同余式 , , , 得到 . 于是所求的解为 所以 答案: 证明： 因为 ,所以 . 于是,当 是奇数时,我们可以令 . 从而有 , 即 . 答案: 证：由条件可得c为奇数，b为偶数 如果p（x）=0有根q，若q为偶数，则有 为奇数，而p（q）=0为偶数，不可能，若q为奇数，则有 为奇数，而p（q）=0为偶数，也不可能，所以 没有整数根 答案: 解 因为(45,132)=3|21,所以同余式有3个解. 将同余式化简为等价的同余方程 . 我们再解不定方程 , 得到一解(21,7). 因此同余式的3个解为 , , 答案: 证：假设 是有理数，则存在二个正整数p，q，使得 = ，由对数定义可得有3 = ,则同一个数左边含奇数个因子，右边含偶数个因子，与算术基本定理矛盾。∴ 为无理数。 答案: 证：则题意知n=4q+r，r=1，2，3。因为=1,i=1,2,3,4所以有 当r=1时有 当r=2时有 当r=3时有