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结构优化设计理论及应用(2) 第三章 无约束优化问题 四、牛顿法 设 为函数的极小点，根据极值的必要条件 称H(xk)为海森矩阵 也可以理解为牛顿法中的有哪些信誉好的足球投注网站方向为 对牛顿法进行改进，提出“阻尼牛顿法” 第三章 无约束优化问题 四、牛顿法 与一维情况相似，牛顿法要求有合适的初始点，如果初始点偏离极值点太远，迭代可能不收敛。 第三章 无约束优化问题 四、牛顿法 第三章 无约束优化问题 五、变尺度（拟牛顿）法 牛顿法收敛速度快，但要求计算二阶导数的逆，计算工作量大，而有些问题目标函数的二阶导数难以求得，因此，牛顿法的应用受到限制。为此，人们对这种算法作了种种改进，其中一种思想是用一个n×n阶的对称矩阵A来来逐步逼近牛顿法中的[H(x)]-1,这种方法称为拟牛顿法(Quasi Newton Method)。由于矩阵A是由递推公式逐步产生的，所以这个方法又称为变尺度法(Variable Metric Method)。不同的递推公式形成不同的变尺度法。如BFGS法、DFP法。 第三章 无约束优化问题 五、变尺度（拟牛顿）法 * * 土木水电学院硕士研究生课程 第三章 无约束优化问题 第三章 无约束优化问题 无约束优化问题的极值条件 有哪些信誉好的足球投注网站方向问题是无约束优化方法的关键。 各种无约束优化方法的区别：确定有哪些信誉好的足球投注网站方向的方法不同。 第三章 无约束优化问题 （P1） Min f(X) X ? En 研究意义： 许多约束问题可转变为无约束问题求解。 通常一个算法总包括一维有哪些信誉好的足球投注网站，而一维有哪些信誉好的足球投注网站实质就是一个无约束问题。 因此，无约束优化问题的解法是优化设计方法的基本组成部分，也是优化方法的基础。 有哪些信誉好的足球投注网站的基本思想是通过逐次循环，来求得问题的最优解或近似最优解。 第三章 无约束优化问题 第三章 无约束优化问题 唯一极小 (全局极小) 第三章 无约束优化问题 无约束优化问题的极值条件 解析法 数值法 数学模型复杂时不便求解 可以处理复杂函数及没有数学表达式 的优化设计问题 有哪些信誉好的足球投注网站方向问题是无约束优化方法的关键。 迭代格式： 无约束优化方法分类 利用目标函数的一阶或二阶导数 利用目标函数值 （最速下降法、共轭梯度法、牛顿法） （坐标轮换法、鲍威尔等） 定义1：令d ? En ，d ? 0 X* ∈D 称d为D在X* 点的一个可行方向，如果存在某个?0使得： X* + ?d ∈D ，? ? ∈（0， ?）。 第三章 无约束优化问题 定义2：令d ? En ，d ? 0 X* ∈D 称d为f在X* 点的一个下降（改善）方向，如果存在某个?0，使得：f( X* + ?d) f ( X* )， ? ? ∈（0， ?）。 定义3：称d为可行下降方向，如果它既是可行又是下降的方向。 无约束优化算法中有直接法和解析法两种，直接法以“成功－失败”法、Fibonacci法和0.618法为典型代表；解析法以牛顿法、变尺度法及共轭方向法为典型代表。 有哪些信誉好的足球投注网站法的算法步骤： Step0 取初始点X0 ，寻找改善方向d0 Step1 取沿改善方向d0所跨过步长为?0 （保持可行改善）求X1= X0+ ?0 d0 Step2 对Xk-1,寻找改善方向dk-1 及f(x)，沿改善方向dk-1所下降最多的步长为?k-1 ,求 Xk= Xk-1+ ?k-1 dk-1 第三章 无约束优化问题 第三章 无约束优化问题 下降最多的步长指求?k-1 满足 Min f( Xk-1+ ?k-1 dk-1 ) Step3 对??0,如果 ?? Xk- Xk-1 ?? / ??Xk?? = ? 则停算， Xk即为近似最优解。 否则，k +1 ? k,转Step2 第三章 无约束优化问题 第三章 无约束优化问题 最速下降法（梯度法） 优化设计追求目标函数值最小，若有哪些信誉好的足球投注网站方向取该点的负梯度 方向，使函数值在该点附近的范围内下降最快。 按此规律不断走步，形成以下迭代算法： 以负梯度方向为有哪些信誉好的足球投注网站方向，所以称最速下降法或梯度法。 有哪些信誉好的足球投注网站方向确定为负梯度方向，还需确定步长因子 即求一维有哪些信誉好的足球投注网站的最佳步长，即有 第三章 无约束优化问题 由此可知，在最速下降法中，相邻两个迭代点上的函数 梯度相互垂直。而有哪些信誉好的足球投注网站方向就是负梯度方向，因此相邻 两个有哪些信誉好的足球投注网站方向互相垂直。 第三章 无约束优化问题 第三章 无约束优化问题 一、成功－失败法 若问题 令 易见 因此，不失一般性，可考虑F(x)是在整个E1上的无条件极值问题，即 第三章 无约束优化问题 一、成功－失败法 所谓成功－失败法，就是先从某个初始点x0出发，利用目标函数F(x