[理学]数学建模：第六章 建模范例四.pptVIP

在 中垂线上 的一侧取 ，使三角形 为等边三角形 ，其外接圆半径为 由于 到圆弧 上任一点的距离 ， 必在此圆内。 为了把判断条件表达得更清楚，我们从另一个角度考虑此问题。 在方向固定，欧几里得距离的意义下， 个旧井点可 同时利用的充要条件是： 存在 ； 及 ，使 这里 和 是网格坐标系的结点。 定理4　 可同时利用的充要条件是：对 存在 使下列条件之一满足： 证明　充分性： 不妨设 成立， 显然取 知不等式组（10）有解，故 可同时利用。 必要性：若 可同时利用，则由于 ，故 在纵横距离意义下也可全部利用。 由定理2，（9）式成立， 若 成立， 则必有 。 若 成立， 则必有 同理可证 ，或 便得到不等式（11）。 分别代入不等式（10） ， 类似还可讨论问题三中方向不固定的情况及矩形网格的情形。 6.14 彩票中的数学 一、 问题的提出 近年来“彩票飓风”席卷中华大地，巨额诱惑使越来越多的人加入到“彩民”的行列，目前流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种类型。 “传统型”采用“10选6+1”方案：先从6组0~9号球中摇出6个基本号码，每组摇出一个，然后从0~4号球中摇出一个特别号码，构成中奖号码。投注者从0~9十个号码中任选6个基本号码（可重复），从0~4中选一个特别号码，构成一注，根据单注号码与中奖号码相符的个数多少及顺序确定中奖等级。 以中奖号码“abcdef+g”为例说明中奖等级，如表一 （X表示未选中的号码）。 表一 选7中（2） abXXXX XbcXXX XXcdXX XXXdeX XXXXef 六等奖 选7中（3） abcXXX XbcdXX XXcdeX XXXdef 五等奖 选7中（4） abcdXX XbcdeX XXcdef 四等奖 选7中（5） abcdeX Xbcdef 三等奖 选7中（6） abcdef 二等奖 选7中（6+1） Abcdef g 一等奖 说 明 基 本 号 码 特别号码 10 选 6+1（6+1/10） 中 奖 等 级 “乐透型”有多种不同的形式，比如“30选7”的方案：先从01～30个号码球中逐个地摇出7个基本号，再从剩余的23个号码球中摇出一个特别号码。投注者从01～30个号码中任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级（不考虑号码顺序）。这种方案的中奖等级如表一。 选7中（4） ●●●●○○○ 七等奖 选7中（4+1） ●●●●○○○ ★ 六等奖 选7中（5） ●●●●●○○ 五等奖 选7中（5+1） ●●●●●○○ ★ 四等奖 选7中（6） ●●●●●●○ 三等奖 选7中（6+1） ●●●●●●○ ★ 二等奖 选7中（7） ●●●●●●● 一等奖 说 明 基 本 号 码 特别号码 30 选 7（7/30） 中 奖 等 级 注：●为选中的基本号码； ★ 为选中的特别号码； ○ 为未选中的号码。 彩票的单注金额一般为2元，彩票管理部门一般都将 彩票的总奖金比例定为销售总额的50%。 现在常见的“30选7”方案的销售规则及相应的奖金 设置方案如表二， 表二 彩票奖金设置方案 5 10 30 200 15% 10% 75% 7/30 3 5 10 50 200 20% 10% 70% 7/30 2 5 15 50 500 20% 15% 65% 7/30 1 七等奖 金 额 六等奖 金 额 五等奖 金 额 四等奖 金 额 三等奖 比 例 二等奖 比 例 一等奖 比 例 模式 序号 其中一、二、三等奖为高项奖，后面的为低项奖。 低项奖数额固定，高项奖按比例分配， 但一等奖单注保底金额60万元，封顶金额500万元， 各高项奖金额的计算方法为： [(当期销售总额 ×总奖金比例) -低项奖总额 ]×单项奖比例 那么彩票管理部门为什么将总奖金比例定为销售 总额的50%？ 以“30选7”的方案为例，如何根据方案的具体情况，综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素，对方案的合理性进行评价？ 能否设计一种“更好”的方案使彩票管理部门收 益最大？ 二 符号说明 1、 i等奖的中奖的概率 2、 i等奖的奖金额 为返奖比例； 6、U:效用函数