[理学]5 第五讲 线性变换之三.pdf

矩阵分析与应用 第五讲 线性变换之三 信息与通信工程学院 吕旌阳 2010-12-29 本讲主要内容  线性变换的特征值与特征向量  最小多项式  对角矩阵  不变子空间 2010-12-29 引入 有限维线性空间V 中取定一组基后，V 的任一线性 变换都可以用矩阵来表示. 为了研究线性变换性质， 希望这个矩阵越简单越好，如对角矩阵. 从本节开始，我们主要讨论，如何选择一组适当 的基，使V 的某个线性变换在这组基下的矩阵就是 一个对角矩阵? 2010-12-29 约束极值与特征值 考虑一个几何约束条件的实对称二次型的极值问题 假定 x R n , xT x 1 ，求 x T Ax 的极大值 其中 A AT R nn 。 Lagrauge函数 L x T Ax x T x 有极值的必要条件 0 L 2(Ax x ) 0 也就是说，A的特征值、特征向量对是极值问题的 解 2010-12-29 一、特征值与特征向量 设 T 是数域K上线性空间V 的一个线性变换， 定义： 若对于K中的一个数 , 存在一个V 的非零向量x , 0 使得 T( x)  x , 0  x 则称 为 的一个特征值，称 为 的属于特征值 0 T T 0 的特征向量. 2010-12-29 注：① 几何意义：特征向量经线性变换后方向保持 相同 ( 0)或相反 ( 0).  0 时 , T( x) 0. 0 0 0 x T  ② 若 是 的属于特征值 的特征向量，则 0 kx (k K ,k 0) T  也是 的属于 的特征向量. 0  T(kx) kT( x) k( x)  (kx)  0 0 由此知，特征向量不是被特征值所唯一确定的， 但是特征值却是被特征向量所唯一确定的，即 若 T( x) x 且 T( x) x ，则   . 2010-12-29 二、特征值与特征向量的求法 分析：设 dim V n, x , x , , x 是V 的一组基， 1 2 n T 线性变换 在这组基下的矩阵为A.  x 设 0是 T 的特征值，