[理学]4讲多元函数的全微分、方向导数.ppt

方向导数的定义 设函数 在 内有定义. 若点 沿射线 l 趋于 时, 极限 l 方向的方向导数. 记为 存在, 则称该极限值为函数 在点 处沿 比较方向导数与偏导数的概念 在方向导数中, 分母 在偏导数中, 分母 可正、可负. 即使 l 的方向与 x 轴 , y 轴的正方向一致时, 方向导数与偏导数也是两个不同的概念. 单向 双向 利用直线方程可将方向导数的定义表示为: 射线 l 的方程: 则 故 怎么计算方向导数？ 假定 u=f(X) 可微 若函数 在点 处可微, 则函数 在点 处沿任一方向 的方向导数存在, 且 其中, 各偏导数均为在点 处的值. 方向导数的计算公式 定理 例 解 由点 到坐标原点的距离定 义的函数 在坐标原点处 向导数值都等于 1: 的两个偏导数均不存在, 但它在该点 沿任何方向的方向导数均存在, 且方 此例说明: 1. 方向导数存在时, 偏导数不一定存在. 2.可微是方向导数存在的充分条件, 而不是 必要条件. 例 只与函数在点 X0 处的偏导数有关. 1 一个问题： 该问题仅在 不同时为零才有意义. 在给定点 处沿什么方向增加得最快? 可微函数 现在正式给出 的定义 grad u 且 * 高等院校非数学类本科数学课程 —— 多元微积分学 大 学 数 学（三） 脚本编写：彭亚新 课件制作：彭亚新 第四讲 全微分、方向导数 主讲教师：彭亚新 第一章 多元函数微分学 第四节 全微分、方向导数 正确理解多元函数的全微分、偏微分的概念。 了解二元函数全微分的几何意义。 正确理解方向导数的概念。 熟练掌握全微分及方向导数的计算方法。 了解梯度的概念和计算方法。 本节教学要求： ? 全微分 ? 方向导数 ? 梯度 ? 函数可微与连续性的关系 本节关键概念和理论 ? 函数可微的必要条件、充分条件 请点击 第四、八节全微分、方向导数 一. 全微分 二元函数全微分的定义 可微与连续的关系 可微与可导的关系 二元函数可微的充分条件 二. 方向导数 方向导数的计算公式 三.梯 度 我们以二元函数为主进行讲解, 所得结论可容易地推广至三元和三元以上的函数中. 一.全微分 可微 可导 回忆一元函数的微分 运用多元函数的全增量概念, 将一元函数的微分概念推广到多元 函数中. 一元函数的增量 多元函数的全增量 时, 若函数在点 X0 处的全增量可 则称函数在点 X0 处可微, 设函数 在点 的某一邻域 称为函数在点 X0 处的全微分, 其中, a , b 是与DX 内有定义, 当 获得增量 且 表示为 0 有关的常数. 无关,仅与 X 二元函数全微分的定义 其中 全微分概念的极限形式 如果函数 在区域 ? 中的 每一点均可微, 则称函数在区域 ? 上可微 . 函数在区域上的可微性 可微 连续 可导 ? ? ? 在多元函数中, 三者的关系如何？ 连续： 可微与连续的关系(可微的必要条件) 可微： 什么关系? 函数 在点 X0 处可微, 则必在点 X0 处连续 . 可微与连续的关系(可微的必要条件) 可微 连续 可导 ? 在多元函数中, 可微 连续 可微： 定理 可微与可导的关系(可微的必要条件) 若函数可微, 则 即 同理, 取 证 可微 连续 可导 在多元函数中, 可微 可偏导 可微 连续 可导 在多元函数中, 可微 可偏导 在多元函数中,可偏导 可微 ? 例 在点 (0, 0) 处连续, 且有有界的偏导数, 但不可微. 该例留给学生课后研讨 参考书：《高等数学中的反例》 朱 勇等编 华中工学院出版社 1986年 p 120~130 定理 二元函数可微的充分条件 利用微分中值定理 由偏导数的连续性 要证明函数 f ( x , y ) 在点 处可微, 即要证 故 同理 证 其中 为该极限过程中的无穷小量. 从而, 函数的全增量 又 即函数 f ( x , y ) 在点 处可微. 故由夹逼定理,得 逆命题? 可 微 连续 可导 连 续 可 导 连续可导 Ok 如果函数 在区域 中 具有连续偏导数 和 , 则称函数 为区域 中的 类函数 , 记为 当不强调区域时, 记为 例 解 将 y, z 看成常数: 将 x , z 看成常数: 例 解 将 x , y 看成常数: 故 回头看全微分公式 这与物理中的叠加原理相符. 回忆一元函数的单侧导数: A B C 二.