[理学]4动量矩定理1.ppt

例题 4-5 匀质圆轮半径为R、质量为m。圆轮在重物P带动下绕固定轴O转动，已知重物重量为W。求重物下落的加速度。 O P W 例题 4-4 §4-2 动 量 矩 定 理 解：以整个系统为研究对象。 圆轮对轴O的动量矩 重物对轴O的动量矩 系统对轴O的总动量矩 设圆轮的角速度和角加速度分别为? 和? ，重物的加速度为aP。 顺时针 顺时针 顺时针 ? ? v O P W aP §4-2 动 量 矩 定 理 应用动量矩定理 其中 aP = R? 系统对轴O的总动量矩 有 得 所以求得重物下落的加速度大小 ? ? v O P W aP §4-2 动 量 矩 定 理 例题 4-6 两个鼓轮固连在一起，其总质量是 m ，对水平转轴 O的转动惯量是 JO。鼓轮的半径是 r1 和 r2 。绳端悬挂的重物 A和 B 质量分别是 m1 和 m2 (图a)，且 m1 m2 。试求鼓轮的角加速度。 §4-2 动 量 矩 定 理 (a) O A B r1 r2 例题 4-5 取鼓轮，重物 A ， B 和绳索为研究对象(图b)。对鼓轮的转轴 z (垂直于图面，指向读者)应用动量矩定理，有 解: §4-2 动 量 矩 定 理 O A B r1 r2 (b) v1 ? α v2 m1g m0g m2g F0 y 系统的动量矩由三部分组成，等于 考虑到 v1 = r1 ? ，v2 = r2 ? ，则得 从而求出鼓轮的角加速度 方向为逆钟向。 §4-2 动 量 矩 定 理 将式 (2) 和 (3) 代入方程 即得 O A B r1 r2 (b) v1 ? α v2 m1g m0g m2g F0 y §4-3 刚体的定轴转动微分方程 §4-3 刚体的定轴转动微分方程 设刚体在主动力 F1 , F2 , · · ·, Fn 作用下绕定轴 z 转动，与此同时,轴承上产生了反力 FA 和 FB。 一、定轴转动微分方程 一、定轴转动微分方程 用 Mz = ∑Mz(F(e)) 表示作用在刚体上的外力对转轴 z 的主矩(反力 FA , FB 自动消去)。 刚体对转轴 z 的动量矩 Lz = Jzω 于是根据动量矩定理 可得 B ωk x F1 y z A ?k F2 Fn FAx FAy FBy FBz FBx 考虑到 则上式可写成 或 即，定轴转动刚体对转轴的转动惯量与角速度的乘积,等于作用于刚体的外力对转轴的主矩。这就是刚体定轴转动微分方程。 §4-3 刚体的定轴转动微分方程 B ωk x F1 y z A ?k F2 Fn FAx FAy FBy FBz FBx 定轴转动微分方程 或 §4-3 刚体的定轴转动微分方程 二、几点讨论 1. 若外力矩Mz =0，刚体作匀速转动； 2. 若外力矩Mz =常量，则刚体作匀变速转动； 3. 若外力矩Mz 相同，Jz 越大，角加速度越小，即刚体转动状态变化的越 慢，反之亦然，这正说明Jz 是刚体转动时惯性的度量。 B ωk x F1 y z A ?k F2 Fn FAx FAy FBy FBz FBx 解：由定轴转动微分方程 即 在什么条件下， F1=F2? α ? mg O F1 F F2 v F1=F2 条件为上式右端 = 0，则 (1) m = 0 (2) R = 0 (3) α = 0 ? 思考题 或 或 §4-3 刚体的定轴转动微分方程 例题 4-6 两根质量各为8 kg的均质细杆固连成T 字型，可绕通过O点的水平轴转动，当OA处于水平位置时, T 形杆具有角速度? =4rad/s 。求该瞬时轴承O的反力。 解：选T 字型杆为研究对象。 受力分析如图示。 由定轴转动微分方程 §4-3 刚体的定轴转动微分方程 根据质心运动微分方程，得 §4-4 相对于质心的动量矩定理 §4-4 相对于质心的动量矩定理 ?相对于质心的动量矩定理 ?相对于质心轴的动量矩定理 §4-4 相对于质心的动量矩定理 一、相对于质心的动量矩定理 过固定点O建立固定坐标系Oxyz，以质点系的质心 C 为原点，取平动坐标系 Cx ? y ? z ?, 质点系对固定点O的动量矩。 LC —— 质点系相对质心C 的动量矩 由对定点的动量矩定理 有 O A v x y z vC z y x C vC vr rC rr §4-4 相对于质心的动量矩定理 左端 （1） 右端 代入（1）式有 0 O A v x y z vC z y x C vC vr rC rr 注意到由质心运动定理有 所以上式为 即，质点系相对于质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对质心的主矩. 这