[理学]4_2换元法同济六版.ppt

第二节 解法1： 二、第二类换元法 定理2 . 设 例12. 求 例13. 求 例14. 求 2. 简单无理函数的积分 例11. 求 例12. 求 例13. 求 小结: 2. 常用基本积分公式的补充 (P206) 补充题 2. 已知 3、 求下列积分: 6. 求 7. 求 8. 求 9. 求 10. 求 11. 求 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (7) 有根号时，直接将根号令为t (6) 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换 作业 P207 1 书上 2 (1) , (6) , (7) , (9) , (11) , (15) , (17) , (18) , (19) , (20) , (21) , (23) , (26) , (30)， (32) , (34) , (37) , (38) , (40) , (41) , 第三节 目录 上页 下页 返回 结束 1. 下列积分应如何换元才使积分简便 ? 令 令 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求 解: 两边求导, 得 则 (代回原变量) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 4、 求不定积分 解： 利用凑微分法 , 原式 = 令 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 分子分母同除以 5. 求不定积分 解: 令 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 原式= 机动 目录 上页 下页 返回 结束 分析: 提示: 法1 法2 法3 作业 目录 上页 下页 返回 结束 解: 原式 (P203 公式 (20) ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例21. 求 解: (P203 公式 (23) ) * 二、第二类换元法 一、第一类换元法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 换元积分法 第四章 一、第一类换元积分法 1、若 u 是自变量 2、若 u 是中间变量, 3、定理1：设 且 可导 则有换元公式： 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( k 为常数) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 4、换元积分公式 例1：求下列积分（学会编题） 推广 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一类换元法：凑微分公式. 设 ，且 可导，则 凑微分公式为： 例2：求下列积分（几个公式） 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3：求下列积分（几个三角函数公式） 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法2： 解法3： 例4：求下列积分（三角函数） 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( k 为常数) 换元积分公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 常用凑微分公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例5：求下列积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例6：若 求： 例7：求下列积分 例8：若 f (x) = ex，求 机动 目录 上页 下页 返回 结束 原式 例9. 设 是 f (x) 的一个原函数，求 例11. 设 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例10. 已知 f (x) 的一个原函数为 求 求 f (x) . 原式= 原式= 解： 将 代入 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一类换元法解决的问题 难求 易求 若所求积分 易求, 则得第二类换元积分法 . 难求， 是单调、可导 , 且 具有原函数 , 证: 令 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则有换元公式 解: 令 则 ∴ 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1、三角函数变换 解: 令 则 ∴ 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 令 则 ∴ 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 令 于是 机动