[理学]24连续型随机变量及其分布易.pptVIP

二、概率密度的概念与性质 解：分析： t＜0时,P{T≤t}=0. t≥0时, 因为{N(t)=k}表示设备在长度为t的时间段内发生k次故障。 {Tt}表示相继出现的两次故障之间的时间间隔大于t，即从前一次故障开始计时直到t时为止没有发生故障（在[0,t]时间内未发生故障）。亦即{Tt}={N(t)=0} 附录 1介绍棣莫弗（De Moivre, Abraham） 2介绍高斯（Gauss, Garl Friedrich） 棣莫弗（De Moivre, Abraham） （1667—1754） 名人名言 “棣莫弗在概率论方面贡献很大.” ──伊夫斯 生平简介 棣莫弗是法国──英国数学家.1667年5月26日生于法国维特里勒弗朗索瓦；1754年11月27日卒于英国伦敦. 棣莫弗出生于法国的一个乡村医生之家，最先在当地一所天主教堂学校念书，随后他离开农村到色拉的一所清教徒学校求学.棣莫弗是法国加尔文派教徒，在新旧教派斗争中被监禁，由于南兹敕令释放后1685年移居英国，曾任家庭教师和保险事业顾问等职，并潜心科学研究，当他读了 生平简介 牛顿的《自然哲学的数学原理》深深地被这部著作吸引了.不久便把这部书读完了，从而打下了坚实的基础.1695年写出颇有见地的有关流数术学的论文，并成为牛顿的好友.两年后当选为皇家学会会员，1735年、1754年又分别被接纳为柏林科学院和巴黎科学院院士.由于棣莫弗是从欧洲大陆到英国的侨民，而且又懂微积分，所以曾被派参加专门调解牛顿与莱布尼茨之间关于微积分发明权之争的委员会. 对数学的主要贡献 棣莫弗1711年撰写了《抽签的计量》的论文，1718年扩充为《机会的学说》一书，这是概率论的最早著作之一，书中首次定义了独立事件的乘法定理，给出了二项分布公式，讨论了掷骰和其它赌博的许多问题.他的另一本名著是1730年的《关于级数和求积的综合分析》，讨论了排列和组合理论，书中最早使用了概率积分 ， * 二、概率密度的概念与性质 一、连续型随机变量 §2.4 连续型随机变量及其分布 一、连续型随机变量 例 r.v. X 为“灯泡的寿命”, 定性定义 随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区间,叫做连续型随机变量. 则X 取值范围为 连续型随机变量特点： 例：设X为在[0，1]任意取点的坐标，则X为连续型随机变量, 其分布函数为 显然， 1.定义 1 probability density , p.d. f(x)几何意义：曲线y=f(x)与x 轴之间的面积等于1． 证明 2性质 证明 可得计算公式： 满足（1）（2）的一个可积函数f(x)必是某连续型随机变量X的概率密度，因此，常用这两条性质检验f(x)是否为概率密度。 几何意义：X落在区间(x1，x2]的概率P{x1X≤x2}等于区间(x1，x2]上y=f(x)之下的曲边梯形面积． (4).若f(x)在点x处连续，则有F′(x)=f(x)。 因为 ，当f(x)连续时，F(x)可导，所以在f(x)的连续点处，F′(x)=f(x)(积分上限函数定理) （5）概率密度f(x)物理意义。 可见概率密度定义与物理学中的线密度定义相类似，若非均匀直线的线密度为f(x)，则在区间(x1，x2)上的直线的质量为 ．这就是称f(x)为概率密度的原因，它反映了概率在x点处的＂密集程度＂。 由性质4在f(x)连续点x处有 3．概率密度f(x)与分布函数F(x)的关系： (2)若连续型随机变量X的分布函数为F(x)，那么它的概率密度为f(x)=F′(x). (1)若连续型随机变量X具有概率密度为f(x)，那么它的分布函数为 注意：连续型随机变量的分布函数F(x)是连续函数。 注：对F(x)不可导的点x处，f(x)在x的函数值可任意给出 注意 ： 对于任意可能值 a ,连续型随机变量取 a 的概率等于零.即 证明 所以 连续型随机变量取值落在某一 区间的概率与区间的开闭无关 例1: 设随机变量X具有概率密度 (1)试确定常数k，(2)求F(x)，(3)并求P{X0.1}。 解: (1)