[理学]11-2 常数项级数审敛法下.pptVIP

* 常数项级数审敛法(续) 一、交错级数及其审敛法 二、绝对收敛与条件收敛 一、交错级数及其审敛法 定义: 正、负项相间的级数称为交错级数. 证明 满足收敛的两个条件, 定理证毕. 收敛 收敛 用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性: 收敛 上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ? 发散 收敛 收敛 解 原级数收敛. 证明 un 单调减的方法 ？ ？ ？ 二、绝对收敛与条件收敛 定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数. 为条件收敛 . 均为绝对收敛. 例如 ： 证明 此定理的作用： 任意项级数 正项级数 例2. 证明下列级数绝对收敛 : 证: (1) 而 收敛 , 收敛 因此 绝对收敛 . (2) 令 因此 收敛, 绝对收敛. 解 由 P 级数的敛散性： 即原级数绝对收敛. 判别级数 的敛散性. 练习1. 级数 是否绝对收敛? 解 由调和级数的发散性可知, 故 发散. 练习2 但原级数是一个交错级数, 且满足： 故原级数是条件收敛, 不是绝对收敛的. 由莱布尼兹判别法可知, 该交错级数收敛. 例3. 证明级数 对 ∴发散 而 发散 对 收敛 单调减少 条件收敛. 证: 罗比达法则 ∴条件收敛 例4 讨论交错级数 的敛散性． ： 时收敛， 时发散； 在 时绝对收敛； 时，讨论交错级数 的敛散性： 解 故原级数 在 ⑴ 时， ， ，且 故 收敛； 时， 故级数 发散； 时绝对收敛， 时条件收敛， 时发散． ⑵ 所以原级数在 注意 一般而言，由 发散，并不能推出 发散 如 发散 但 收敛 如果 发散是由检比法和检根法而审定， 则 必定发散。 这是因为检比法与检根法 审定级数发散的原因是通项不趋向于0 由 三、小结 正 项 级 数 任意项级数 审 敛 法 1. 2. 4.充要条件 5.比较法 6.比值法 7.根值法 4.绝对收敛 5.交错级数 (莱布尼茨定理) 3.按基本性质; 内容小结 1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 利用正项级数审敛法 必要条件 不满足 发 散 满足 比值审敛法 根值审敛法 收 敛 发 散 不定 比较审敛法 用它法判别 积分判别法 部分和极限 * 3. 任意项级数审敛法 为收敛级数 Leibniz判别法: 则交错级数 收敛 概念: 绝对收敛 条件收敛 * 思考与练习 1.设正项级数 收敛, 能否推出 收敛 ? 提示: 由比较判敛法可知 收敛 . 注意: 反之不成立. 例如, 收敛 , 发散 . 2. 则级数 (A) 发散 ; (B) 绝对收敛; (C) 条件收敛 ; (D) 收敛性根据条件不能确定. 分析: ∴ (B) 错 ; 又 C * 3. 判断下列级数的敛散性. 4. 判断下列级数是绝对收敛还是条件收敛 ？ 答案 3. (1)条件收敛；（2）发散.; (3)条件收敛；（4）发散. 4. (1) 条件收敛；(2)条件收敛