[数学]考点10 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例.doc

温馨提示： 此题库为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观 看比例，点击右上角的关闭按钮可返回目录。 考点10 导数在研究函数中的应用 与生活中的优化问题举例 一、选择题 1．（2011·安徽高考文科·Ｔ10）函数在区间上的图象如图所示，则n可能是（　） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 【思路点拨】 代入验证，并求导得极值，结合图象确定答案. 【精讲精析】选A. 代入验证,当n=1时，，则 ，由=0可知，，结合图象可知函数应在（0，）递增，在递减，即在处取得最大值，由 知存在. 2.（2011·辽宁高考理科·Ｔ11），则f（x）＞2x+4的解集为 （A）（-1，1） （B）（-1，+） （C）（-，-1） （D）（-，+） 【思路点拨】先构造函数，求其导数，将问题转化为求单调性问题即可求解． 【精讲精析】选B.构造函数，则，又因为，所以，可知在R上是增函数，所以可化为，即，利用单调性可知，．选B. 3．（2011·安徽高考理科·Ｔ10）函数在区间上的图象如图所示，则的值可能是 （A） (B) (C) (D) 【思路点拨】本题考查函数与导数的综合应用，先求出的导数，然后根据函数图像确定极值点的位置，从而判断m,n的取值. 【精讲精析】选B.函数的导数 则在上大于0，在上小于0，由图象可知极大值点为，结合选项可得m=1,n=2. 二、填空题 4.（2011·广东高考理科·Ｔ12）函数在 处取得极小值. 【思路点拨】先求导函数的零点，然后通过导数的正负分析函数的增减情况，从而得出取得极值的时刻. 【精讲精析】答案：2 由解得或，列表如下： 0 2 + - + 增 极大值 减 极小值 增 当时，取得极小值. 5．（2011·辽宁高考文科·Ｔ16）有零点，则的取值范围是 【思路点拨】先求，判断的单调性．结合图象找条件．本题只要使的最小值不大于零即可． 【精讲精析】选A，=．由得， ∴．由得，． ∴在处取得最小值． 只要即可．∴， ∴． ∴的取值范围是 6.（2011·江苏高考·Ｔ12）在平面直角坐标系中，已知点P是函数的图象上的动点，该图象在P处的切线交y轴于点M，过点P作的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_________ 【思路点拨】本题考查的是直线的切线方程以及函数的单调性问题，解题的关键是表示出中点的纵坐标t的表达式，然后考虑单调性求解最值。 【精讲精析】答案： 设则，过点P作的垂线 ， ，所以，t在上单调增，在单调减，。 三、解答题 7．（2011·安徽高考理科·Ｔ16）设，其中为正实数 （Ⅰ）当时，求的极值点； （Ⅱ）若为上的单调函数，求的取值范围. 【思路点拨】（Ⅰ）直接利用导数公式求导，求极值. （Ⅱ）求导之后转化为恒成立问题. 【精讲精析】对求导得， （Ⅰ）当令，则.解得， 列表得 x + 0 - 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以，是极小值点，是极大值点. （Ⅱ）若为R上的单调函数，则在R上不变号，结合与条件a0,知在R上恒成立，因此由此并结合a0,知. 8.（2011·福建卷理科·Ｔ1），其中3x6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克. （I）求a的值。 （II）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大. 【思路点拨】(1)根据“销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克”可知销售函数过点（5,11）,将其代入可求得的值; （2）利润为y=(每件产品的售价-每件产品的成本) 销量,表示出函数解析式后，可借助导数求最值. 【精讲精析】 （I）因为时，，所以所以. （II）由（1）可知，该商品每日的销售量 所以商场每日销售该商品所获得的利润 从而 于是，当变化时，的变化情况如下表， 4 0 单调递增 极大值42 单调递减 由上表可得，是函数在区间内的极大值点，也是最大值点. 所以，当时，函数取得最大值，且最大值等于42. 当销售价格为元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大. 9.（2011·福建卷文科·Ｔ22）已知a，b为常数，且a≠0，函数f（x）=-ax+b+axlnx，f(e)=2（e=2.71828…是自然对数的底数）（I）求实数b的值； （II）求函数f（x）的单调区间； （III）当a=1时，是否同时存在实数m和M（mM），使得对每一个t∈[m，M]，直线y=t与曲线y=f（x）（x∈[，e]）都有公共点？若存在，求出最小的实数m和最大的实数M；若不存在，说明理由