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[数学]浅谈矩阵的对角化问题
苏州大学
本科毕业论文
(2012届)
浅谈矩阵的对角化问题
?学号 0807402069 姓名 马莉莹 院系 数学科学学院 ? 专业 数学与应用数学(师范) 指导老师 朱广俊
目录
中文摘要 1
Abstract 2
前 言 3
第一章 矩阵相似对角化问题的引入 4
第二章 矩阵相似对角化的条件 5
第三章 矩阵对角化的若干方法 7
3.1 一般矩阵对角化的方法 7
3.2 实对称矩阵对角化的方法 20
第四章 特殊矩阵的对角化 27
总 结 31
参考文献 32
致 谢 33
中文摘要
矩阵的对角化是矩阵理论中的一个重要问题,本文利用高等代数的有关理论给出了矩阵可对角化的若干条件;从初等变换、线性方程组、特征子空间等不同角度探究了将一般矩阵和实对称矩阵对角化的若干方法;最后,分析了一些特殊矩阵的对角化问题,如幂等矩阵、幂零矩阵、实对称矩阵和Hermite矩阵等.
关键词:对角化,特征值,特征向量,相似变换,线性变换.
Abstract
Diagonalization of Matrix is an important problem in the matrix theory. We give several conditions of matrix diagonalization by the use of higher algebra related theory. We give some methods of diagonalization of general matrix and real symmetric matrix from different aspects, such as elementary transformation, system of linear equations and characteristic subspace. In the end, we analysis the diagonalization of some special matrix, such as idempotent matrix, nilpotent matrix,real symmetric matrix and hermite matrix.
Keywords : diagonalization,eigenvalue,eigenvectors,
similarity transformation,linear transformation.
前 言
矩阵的对角化在国内外已有一定的研究.早在十九世纪末,人们在研究行列式的性质和计算时,提出了对角矩阵的概念.随着计算机的发展,矩阵对角化的应用前景也变得更为广阔.
对角矩阵是一类最简单的矩阵,它在许多领域如量子力学、无线电、电子信息工程、计算机等中起着重要的作用.由于通过相似变换,许多矩阵在相似意义下都与一个对角矩阵等价,而对角矩阵的性质很容易从它自身元素的特点得出,所以对于可对角化的矩阵,我们只要研究它的相似标准形即可.
本文主要简述了矩阵可对角化的若干条件;从初等变换,线性方程组,特征子空间等不同角度探究了将一般矩阵和实对称矩阵对角化的若干方法;最后,分析了一些特殊矩阵的对角化问题,如幂等矩阵、幂零矩阵、实对称矩阵和Hermite矩阵等.
符号说明
数域
复数域
数域上的线性空间
的全体线性变换的集合
数域上的维向量全体所组成的集合
数域上的阶矩阵的集合
单位矩阵
矩阵的逆
矩阵的转置
矩阵的共轭转置
矩阵的秩
矩阵的迹
第一章 矩阵相似对角化问题的引入
在高等代数中,对于有限维线性变换的研究,主要有两种方法.
第一种:对某空间的全体线性变换的集合引进运算:加法、数量乘积.这样就构成了数域上的线性空间.我们可利用这些运算来研究线
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