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Substantial Derivative When we consider a scalar quantity q we can either write this quantity with respect to fixed points in space, X, or with repect with a coordinate system that is moving with the flow, x. Obviously, x, will be a function of time t, so x(t). (1) Local acceleration question： 1.When is there only local acceleration 2.When is there only convective acceleration？ 3.When we have both accelerations? Streamline(流线),Pathline(迹线) * What is a streamline  A pathline is the actual path traversed by a given fluid particles. 已知拉格朗日变数下的速度表达式为： 式中:a,b为ｔ＝０时流体质点所在位置的坐标。 试求： （１）ｔ＝２时刻流体质点的分布规律； （２）ａ＝１，ｂ＝２时这个质点的运动规律； （３）流体质点的加速度； （４）欧拉变数下的速度与加速度。 When t=2 代回到所给出的拉格朗日变数下的速度表达式，可求得在欧拉变数下的速度表达式为 试求： （１）ｔ＝0，ｘ＝-1，ｙ＝-1的迹线； （２）ｔ＝0，过点（1,2）的迹线； （３）ｔ＝０，过点（-1，-1）的流线； （４）ｔ＝1，过ｘ＝１，ｙ＝２的加速度。 (2)将t=0,x=1,y=2代入通解得 （４）加速度公式为 以Lagrange变数(a,b,c)给出流体的运动规律为： （1）流体的速度场为 积分时应将ｔ视为参数或令t=0代入上式得 (3) 将t=0，x=1，y=1，z=1代入所给的运动轨迹参数方程得a=1，b=1，C=1，则轨迹方程为 (3-2-1)式右端各项的物理意义不明显。为了清楚地把它表示成平移速度、转动速度和变形速度之和，特别要对方程作一个变换： 同理，可改写第二及第三方程，得到 Define: 综上所述，流体微团的运动由如下三部分： 平移运动：速度为（vx，vy，vz）； 旋转运动：角速度为（ωx，ωy，ωz）； 变形运动：线变形速度（ｅx、ｅy、ｅz ）和角变形速度为（γx，γy，γz ）的剪切变形运动。 3.3 Vorticity and Circulation If at every point in the flow, the flow is called rotational. （１）旋转角度公式为 （２）由剪切变形角速度公式得 假设流线均为水平直线的均匀流动，速度分布为ｖx＝ｖ0，ｖy＝０。很易验证ωx＝ωy＝ωz＝０，运动是无旋的，如果用直角边代表流体微团，显见它只有平移既不转动，也没有变形，如图所示 平行剪切流动。流场具有抛物线规律的速度分布 如图所示作一个十字架来代表流体微团，可以看出，水平边ｃｄ不转动，但垂直边ａｂ由于ａ点处速度大于ｂ点处速度，故作顺时针转动。所以其分角线也顺时针转动。我们知道，粘性流体在管道中流动以及粘性流体在固体壁面附近流动时，其速度分布是接近这种抛物线规律的，因此管道中和固壁附近的流动是有旋的。 旋转角速度公式即可证得 故经过点(-1,-1)的轨迹线方程为 消去t后得为一条过点(-1,-1)的直线。 代入初始条件t=0,x=-1,y=-1得C=-1。则过点(-1,-1)的流线方程为ｘy=1为一条第四象限内过点(-1,-1)的双曲线。 (3)流线微分方程为 故过点(1,2)的轨迹线方程为 所以 Example 求： （１）流体的速度场； （２）ｔ＝０过点（1,1,1）的流线； （３）ｔ＝０过点（1,1,1）的迹线； （４）流动是否定常？ （2）由流线微分方程 Solution: 当x=1，y=-1时得 c=1，故 xy=1, Z=1, 便是t=0，过点（1,1,1）的流线方程 积分得 (4) 从所求出的速度场可知，速度与时间ｔ有关，故流场为非定常流动。 Home work 1. Given velocity distribution: u = x + t , v = - y + t , w = 0 ( t i