[工学]第十章 简单超静定问题.pptVIP

例10.7 如图10.14所示?结构，在梁BCD受载荷作用以前，拉杆AB内没有内力。已知梁和拉杆用同种材料制成，材料的弹性模量为E，梁横截面的惯性矩为I，拉杆的横截面积为A。试求拉杆的内力。 （a） （b） （c） 解：梁BCD除受C处的固定铰约束和D处的活动铰约束，还在B处受拉杆AB的约束，故为一次超静定梁。在此设拉杆对梁的约束为“多余”约束，将拉杆与梁假想的分开，将二者之间的作用力暴露出来。设拉杆的内力为拉，则梁在B端受到一个向上的拉力。超静定梁BCD的相当系统如图10.14c所示。 用变形比较法确定变形协调方程。原超静定梁BCD在B端受拉杆约束，拉杆的变形量就等于梁的B截面挠度。在相当系统中，B截面挠度由集中载荷F、均布载荷q和拉杆拉力FN共同作用产生。设拉杆的伸长量为 ，则变形协调方程为： (a) 力与变形之间物理关系为： (b) (c) (d) (e) 将物理关系式（b）、（c）、（d）、（e）代入变形协调方程（a），可得补充方程： 由此可解出拉杆内力 河南理工大学土木工程学院 工程力学 第十章 简单超静定问题 工程力学 第十章 简单的超静定问题 §10-1 基本概念及求解方法 §10-2 拉压超静定问题 第十章 简单超静定问题 §10-3 扭转超静定问题 §10-4 弯曲超静定问题 §10-1 超静定问题的概念及求解方法 一、基本概念 1. 静定问题 杆件的未知约束力或未知内力都可以通过平衡方程求解 2.超静定问题 实际工程中，为了提高承载力及构件变形，往往会使用超静定结构. 如大型承重桁架中某一结点A由三杆铰接而成，如图10.1a所示，结点A处受力分析如图10.1b所示 此处为平面汇交力系，有3个未知力，但只能列两个独立的平衡方程，显然仅由平衡方程不可能求出全部（3个）未知轴力。此问题即为超静定问题。 a 图10.1 b 又如细长悬臂梁，为了减小其最大弯矩和最大挠度，通常在自由端增加一个支座，如图10.2所示。这也构成了超静定问题 （a） 图10.2 （b） 3. 求解方法 只有独立方程的个数与未知力的个数相等，才能求出全部未知力，所以对于超静定问题，必须寻找补充的方程。 在工程力学中，通常根据超静定结构中各杆件变形的几何相容条件，可以建立附加的变形协调方程。该方程作为平衡方程的补充，与平衡方程联立，即可求解全部未知力 §10-2 拉压超静定问题 一、拉压超静定问题的解法 例10.1 如图10.1a所示超静定问题。设1、2、3三杆的横截面积及材料均相同，即 1、3两杆的长度也相同， 试求在铅垂方向的外力F的作用下各杆的轴力。 图10.3 解： 首先，根据节点A的受力分析，可列出静力平衡方程： （a） （b） 第二步，画出各杆件的变形图，建立各杆件变形之间的变形协调方程。该结构是对称的，且受力也是作用在结构的对称轴上，因此结构的变形也是对称的。这时节点A只能在竖直方向有一个位移，设A点移动到了 点。根据对称性，1杆的变形与3杆的变形是相同的，只需要找出1杆（或3杆）与2杆变形之间的关系。设1杆的变形为伸长，且伸长量为 ，则2杆的变形也为伸长，设为 ，1、2两杆伸长量之间的关系如图10.3所示。由此可得变形协调方程： （c） 第三步，列出1、2两杆伸长量 之间的物理关系： （d） （e） 与所求轴力 第四步，将（d）、（e）两式代入（c）式，得到补充方程： （f） 第五步，联立平衡方程（a）、（b）和补充方程（f），求解可得： 例10.1如图10.4a所示结构由弹性模量为E1、横截面积为A1 的实心圆杆与弹性模量为E2 、横截面积为A2的圆筒组合而成，该组合结构的两端用刚性板连接。试求在力F作用下实心圆杆和套筒的横截面上的应力。。 F F F FN1 FN2 （a） （b） 图10.4 解：为了将实心圆杆和套筒的轴力暴露出来，在任一横截面处假想的截开，取结构的下半部分研究，如图10.4b 所示。设实心圆杆的轴力为FN1，套筒的轴力为FN2，则由下半部分的平衡条件可得： （a） 由于实心圆杆和套筒在两刚性板之间，所以二者的变形量是相等的，可得补充方程： （b） ， （c） 把（d）代入（c）可得： （d） 将（a）、（d）两式联立，可得：