[工学]第3章 动量传递方程的若干解.pptVIP

由此可知，流体作用于球体的曳力由两部分组成： (1)由于垂直作用于球面上的法向应力(只有压力，无附加法向应 力)的不对称分布所引起的形体曳力； (2)由作用于球面上的切向应力引起的摩擦曳力。 因为流动对称与 z 轴，即球面上的 τrr和 τrθ在 φ方向上无变化， 故两类应力在与 z 轴相垂直的方向上的合力均为零。又因粒子与流 体在 z方向上做相对运动，故作用在球体上的力全部沿 z 轴方向。 令 Fdf 表示作用于球面上的法向应力引起的形体曳力，它等于此 应力在 z 方向上的合力，即 令 Fds 表示作用于球面上的切向应力引起的摩擦曳力，它等于此应力在 z 方向上的合力，即 用 Fd 表示流体作用于球体的总曳力，它等于形体曳力和摩擦曳 力之和，即 式(3-83)称为Stokes方程，它表明流体作用于球体的曳力亦即球体 作用于流体的阻力大小与球体的半径、流体的黏度及均匀来流的速 度成正比。在总阻力中，形体阻力占1/3，摩擦阻力占2/3。 由绕流流动的曳力系数的定义式，即 得，爬流流动的曳力系数为 当Re1时，式(3-84)的结果与实验值吻合得很好。 当Re5时，奥森公式的结果与实验值吻合得很好，即 随着Re的变大，爬流条件不再成立。图 3-9 给出粒子在流体中 沉降时曳力系数随Re变化的实验结果曲线。 第五节 势流 当流体在大Re数下运动时，所受的惯性力作用要远大于黏性力 作用，此时除了贴近物体壁面的区域不能忽略黏性力的影响外，流 动的大部分区域可按理想流体处理。 一、理想流体的运动方程 理想流体的黏度 μ =0，可将Nivier-Stokes方程 简化，即 写成向量形式 上述方程称为Euler方程。 不可压缩流体的连续性方程仍为 式(3-86)与式(2-20)构成理想流体运动的偏微分方程组，4个方程 ，可解出 4个未知量 ux、uy、uz 和 p 。 二、流体的旋度与速度势函数 在流场中，流体微团若具有绕自身轴的旋转运动，则称流动是有旋的，简称旋流。 在流场中，流体微团若不具有绕自身轴的旋转运动，则称流动是无旋的。无旋流动也叫有势流动，简称势流。 (一)流体的旋度 描述流体质点旋转性质的物理量称为旋度，其定义为 对于在重力场作用下的理想不可压缩流体而言，如果初始流动 是有旋的，则将一直保持有旋状态；如果初始流动是无旋的，则将 一直保持无旋状态。 (二)速度势函数 以流体沿x、y方向的二维流动为例，在此有 。 当流动无旋时，式(3-87)变为 即 令 代入式(3-89)，得 或 上式积分，得 令积分常数等于零，则 式(3-90a)、式(3-90b)中的 φ( x , y ) 称为速度势函数。 速度势函数存在的唯一条件是流动必须是无旋的(或有势的)。 在三维无旋流动中，也存在相应的速度势函数 φ( x , y , z ) ，即 速度势函数与速度向量的关系为 即速度势函数的梯度为流体的速度向量。 三、势流的求解 不可压缩流体的大Re数流动，可当作是不可压缩的理想流体的 流动，描述其规律的一组特定方程为 这是一组非线性偏微分方程，仍无法求出简化方程通解，只能求出 这组方程的特解。 这里仅讨论不可压缩理想流体的稳态无旋流动。 将速度势函数定义式(3-90) 代入不可压缩流体的连续性方程 得 或 为二阶线性偏微分方程，称为Laplace方程。如果φ 1、φ 2、 …φn 是方程(3-92)的解，则 为方程(3-92)的通解。 求出 φ 后，再按式(3-90)求出速度分布， 然后由 Euler 方程(3-86)求出压力分布。 以不可压缩理想流体的稳态绕圆柱的大Re数流动为例 设速度为 u0 的不可压缩、理想的均匀来流绕一半径为 R 的无 限长圆柱体作稳态有势流动。根据设定，将此柱体绕流视作 x-y 平 面上的稳态有势流动。用二维柱坐标系( r , θ )描述此流动，如图所 示。已知 柱坐标系的连续性方程 可简化为 由速度势函数 φ( r , θ )，可知 式(2)代入式(1)，得 式(3)即为 Laplace 方程。由已知条件可写出边界条件，为 采用分离变量法求解式(3)的边值问题。将速度势函数 φ( r , θ ) 表 示成变量分离形式，即 由式(5)可以看出，要使 φ( r , θ ) 中的变量θ得以分离，应取 将式(7)代入式(6)中，得 由式(8),可知 代入式(3