[工学]研究生矩阵理论课后答案第8章.pptVIP

第八章 矩阵的广义逆序言 ?矩阵的广义逆矩阵(简称广义逆)是可逆方阵的逆矩阵概念的推广.推广后的广义逆矩阵不仅仍然适用于可逆方阵,更适用于奇异方阵,甚至适用于行列数不相等的长方阵. ?广义逆矩阵除了上述理论意义之外,还有更大的应用价值.广义逆矩阵是计算许多实际问题的有效工具,特别在数值分析中十分有用. ?本章重点介绍减号逆(广义逆矩阵),左逆,右逆,自反广义逆和加号逆(伪逆矩阵)等五种广义逆. 线性方程组一般理论复习 定理A:线性方程组 Ax=b, A?Cn?n,x,b?Cn 对任意右端b都有唯一解的充要条件是A-1存在. 证:必要性 令Ax(i)=ei,i=1,…n,X=(x(1),…x(n))?Cn?n 其中ei为En的第i列(今后将常用此记号) 则 AX=(Ax(1),…,Ax(n))=(e1,…,en)=En ? A-1=X. 充分性 若A-1存在,则对任意右端b Ax=b ? x=A-1b 即 x=A-1b是线性方程组Ax=b的唯一解. 线性方程组一般理论复习续 定理B:对一般线性方程组 Ax=b, A?Crm?n,x?Cn,b?Cm (1) ①(1)有解的充要条件是b?R(A)={Ay|y?Cn}(R(A)也称为A的值域) ②(1)有解的充要条件是rank(A,b)=rank A (增广矩阵(A,b)与系数矩阵A的秩相等,其意义是b是A的某些列的线性组合即b?R(A)) ③(1)的通解=(1)的特解+齐次方程组通解N(A) (齐次方程组解空间N(A)={x?Cn|Ax=0}也称为A的核) ④(1)有无穷多解的充要条件是 rank A n dim N(A)= n-rank A= n-r 0 减号逆定义8.1.1 ?定义:若一般线性方程组 Ax=b, A?Cm?n,x?Cn,b?Cm (1) 对任意b?R(A)的解都可表示为x=A-b,则矩阵 A-?Cn?m 称为A的一个减号逆. ?因为当A?Cnn?n时,(1)的解都可表示为 x=A-1b,所以,在此情形下A有唯一减号逆: A-=A-1. 这一事实说明减号逆是普通逆矩阵的推广. 减号逆举例 例1: A= ?C2?3 有下列两个实质不同的减号逆: A-= 或 证:易见两种情形都有AA-=E2,从而,对任意b?C2, AA-b=b ? Ax=b 有解 x=A-b?C2 即对任意 b?R(A)=C2,Ax=b 的解都可表示为x=A-b 所以,这两个A-都是A的减号逆. 注:此例说明减号逆一般不唯一. 减号逆的充要条件 定理8.1.1: X?Cn?m是A?Cm?n的减号逆,当且仅当 AXA=A (8.1.2) 证:必要性 若X=A-,则对任意b?R(A)都有 AXb=b. 令 A=(?1,…,?n),则 Aei=?i?R(A),ei=X?i, AX?i=?i,i=1,…,n, 因此 AX(?1,…,?n)=(?1,…,?n),得证 AXA=A. 充分性 若X满足(8.1.2)和x为Ax=b的解,则 b=Ax=AXAx=AXb, 因此,Ax=b的解可表为:x=Xb,从而得证X是A的一个减号逆. 注 定理8.1.1给出的减号逆A- 的充要条件(8.1.2)也是一些书用来定义减号逆的条件. 用充要条件(8.1.2)来检验减号逆十分方便.例如, A= ?C2?3, A-= ?C2?3 AA-A= =A 推论 推论: A?Cm?n的减号逆A-的秩不小于A的秩 rank A ? rank A- 证:我们知道:乘积矩阵的秩不大于每个因子矩阵的秩.于是由AA-A=A立即推出 rank A ? rank AA- ? rank A- 下面讨论减号逆的存在性及求减号逆的方法.先复习用初等变换把任意矩阵等价变换为标准形及相关变换矩阵的计算问题. 例8.1.2 减号逆存在定理与求减号逆的方法 定理a(例8.1.1): A?Crm?n 的减号逆A- 恒存在,并有下列形式: A- = (8.1.4) 其中,P?Cmm?m,Q?Cnn?n 满足 ,X,Y,Z分 别为 r?(m-r),(n-r)?r,(n-r)?(m-r)任意参数矩阵. 证:首先验证(8.1.4)满足 AA-A=A: ? 其次证明任意减号逆A-都可写成(8.1.4)的形式 讨论 ① 任何矩阵A?Cm?n都有减号逆A-,最简单的一个减号逆是: 其中,Q1,P1分别是Q的前r列,P的前r行所组成的子矩阵.(见上面的例8.1.2) ②