[工学]材料力学 扭转课件 4.pptVIP

例题 ：实心圆轴１和空心圆轴２（图a、b）材料、扭转力偶矩 m 和长度 l 均相等，最大剪应力也相等。若空心圆轴的内外径之比为 ? = 0.8 ，试求空心圆截面的外径和实心圆截面直径之比及两轴的重量比。 斜截面上应力的计算公式 d C e d a b c ? ? n x e n t x a b c d x n f e 求极值： ′ 45° 低碳钢试件： 沿横截面断开。 铸铁试件： 沿与轴线约成45?的螺旋线断开。 l l (a) (b) * * §3-4 等直圆杆扭转时的应力 · 强度条件 圆杆横截面上的应力 预先在圆筒的表面画上等间距的纵向线和圆周线，从而形成 一系列的正方格子。 M M ? ? 圆杆扭转时的变形特点 1 所有横截面仍在原来的平面内 扭转应力为切应力 2 纵向线都倾斜相同的角度 圆周上各点的切应力大小相同 3 所有圆周线保持原有形状 切应力的方向与圆周相切。 a a b T T dx b 1 几何方面 D A 倾角 ? 是横截面圆周上任一点 A 处的剪切角（剪应变）。 D1 a a b T T dx b D A D1 d? 是 b—b 截面相对于a—a 截面的相对扭转角。 a a b T T dx b D A D1 EG是距离中心轴线为?的一条纵向线。 G E ? a a b T T dx b D A D1 EG 也倾斜了一个角度 ? ? E ? ? ? G1 ? ? 是横截面半径上任一点 E 处的切应变。 G a a b T T dx b D A D1 E ? ? ? G1 G 此式说明 ： ? ?与 ? 成正比，同一半径 圆周上各点剪应变 均 相同． 2 物理方面 由剪切胡克定律 切应力 ? ? 与 ? 成正比 ，方向 垂直于半径。 3 静力学方面 o T dA 每个微元力对圆心的矩为 所有微元力对圆心的矩之和 等于横截面上的扭矩 T。 o T dA o T dA 上式为圆轴在扭转时横截面上任一点处的切应力计算公式 称为横截面对圆心的 极惯性矩 式中：T 为横截面上的扭矩 ? 为求应力的点到圆心的距离 o T 1 横截面周边各点处，切应 力将达到最大值。 切应力与 ? 成正比。且垂直于 半径。指向与 T 的转向一至。 2 圆心处的切应力为零。 切应力分布特点： WP 称作抗扭截面系数 抗扭截面系数 二 极惯性矩及抗扭截面系数 极惯性矩 d o 实心圆截面 D d o 空心圆截面 x x A x x d a b c 从受扭杆件 A 点处取一单元体 单元体的左、右两侧面属于杆的横截面，顶面和底面属于杆的 径向截面，单元体的前后面属于杆的切向平面。 四、斜截面上的应力 x y dy dz a b d z dx c 在单元体左，右面（杆的横截 面）上只有剪应力，其方向于 y 轴 平行。 可知，两侧面的内力元素 ? dy dz 大小相等，方向相反，将组 成一个力偶。 剪应力互等定理 由平衡方程 (? dy dz) dx 其矩为 (2) 要满足平衡方程 x y dy dz a b d z dx c 在单元体的上，下两平面上必有 大小相等，指向相反的一对 内力元素 它们组成的力偶，其矩为 x y dy dz a b d z dx c 此力偶矩与前一力偶矩 数量相等而转向相反，从而可得 (? dy dz) dx x y dy dz a b d z dx c 剪应力互等定理： 单元体两个相互垂直平面上 的剪应力同时存在，且大小 相等，都指相（或背离）该 两平面的交线。 x y dy dz a b d z dx c 纯剪切应力状态： 单元体平面上只有剪应力 而无正应力，则称该单元体 为纯剪切应力状态。 x y dy dz a b d z dx c x x A x x d a b c 由切应力互等定理，单元体的 左、右、上、下 四个侧面作用着 相等的切应力 ? ，单元体的前、后面上没有切应力。 单元体属于纯剪切应力状态 x x d a b c 与单元体前、后面垂直的任意斜截面上 的应力 d a b c ? ? n x ? 也是斜截面的外法线 n与 x 轴的夹角。 假设 de 的面积为 dA dc 的面积为 dAcos ? ce 的面积为 dAsin ? d a b c ? ? n x e d c e t n x e d C t n e b e t n x *