[工学]数学物理方程第四章 积分变换法.pptVIP

第四章 积分变换法傅立叶变换与拉普拉斯变换 1777年以前，人们普遍采用多项式函数P(x)来对信号f(x)进行表征： 。 1777年，数学家Euler在研究天文学时发现某些函数可以通过余弦函数之和来表达。1807年，法国科学家傅里叶进一步提出周期为2π的函数f(x)可以表示为系列三角函数之和，即 傅里叶级数在应用上有以下优点： 能够表示不连续的函数、周期函数，能够对任意函数作调和分析 若函数 以 为周期，即 则可取三角函数族 1，cos ,cos , … cos ，… sin ,sin , … sin ， … 作为基本函数族，将 展开为级数 = + cos + cos ) 其中 在研究热传导方程的过程中，为了简化原问题，傅里叶建议将热导方程从时间域变换到频率域，为此他提出了著名的傅里叶变换的概念。信号f(x)的傅里叶变换定义为： 傅里叶变换建立了信号时域与频域之间的关系，频率是信号的物理本质之一。 设f(x)为[-π,π]上的有限信号，则f(x)的傅里叶变换可简化为： 如要求 这时应延拓为奇的周期函数，因为 如要求 这时应延拓为偶的周期函数，因为余弦级数的和的导数在 和 为零 对于函数u(x,t),-lxl,t≥0,展开为傅里叶级数时，可将t视为参数，仅关于x展开为傅里叶级数 4.2 傅里叶变换 一般说来，定义在区间（-∞x∞）上的函数f(x)是非周期的，不能展开为傅里叶级数。为了研究这样的函数的傅里叶展开问题，可试将非周期函数f(x)看作是某个周期函数g(x)于周期2l→∞时的极限情形。这样，g(x)的傅里叶级数展开式 在l→∞时的极限形式就是所要寻找的非周期函数f(x)的傅里叶展开。 复数形式的傅里叶积分 1 用傅里叶级数法解决有界细杆的热传导问题 方程左边是傅里叶余弦级数，提示我们把方程右边也展开为傅里叶余弦级数，得到： 代入初始条件，得 (t)的常微分方程在初始条件下的解： 4.3无界空间的有源导热问题 1.一维无源导热问题和基本解 2. 一维热传导问题 3.一维有源导热问题。 傅里叶变换法求解无界细杆的热传导问题 对t积分一次，计及零初始值， 交换积分次序 Laplace变换应用范围： Laplace变换方法广泛应用于求解非稳态热传导问题，将对时间的偏导数消去。 Laplace变换方法简单，但对变换后得到的解进行反变换则相当复杂。 §1 Laplace变换的定义、性质 Laplace变换所考虑的对象通常是定义在 上的实值函数 拉普拉斯变换 的拉普拉斯变换 拉普拉斯变换的反演公式 Laplace　变换的特点 1、变换简单且容易计算； 2、可应用复频率的概念具有更普遍的意义； 3、可处理的信号范围更广； 4、在微分方程的求解中变微分运算为代数运 算； 5、自动引入初始条件，直接求出全解。 Laplace变换的性质 Laplace变换的性质 阶梯函数的Laplace变换 Laplace变换的移位特性 Laplace变换的周期 周期函数的Laplace变换 例1： 例2： 例3 4.5 积分的Laplace变换 4.5.1 比例变换 已知 是 F(t)的Laplace变换，那么，F(at)和 (式中a是正的实常数）的Laplace 变换为: 4.5.2 位移定理（替换性质） 函数 的Laplace变换，其中 a是常数，即: 4.5.3 位移（延迟）函数的Laplace 变换 单位阶跃函数 U(t)和U(t-a)的定义: 位移函数： 结果表明，位移函数 U(t-a)F(t-a) 的Laplace 变换等于函数 F(t)的Laplace 变换 乘以 . 单位阶跃函数U(t-a)的Laplace变换： （因为 F(t-a)=1) （三）F(t)的Laplace变换式 §4.5.4 利用Laplace变换表进行反变换 在热传导问题中，Laplace变换一般用于对时间变量的变换上。因此，最重要的一步是把Laplace变换得到的像函数从