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熊燕华 第八章 排队论 基本概念 单服务台泊松到达负指数服务时间排队模型 多服务台泊松到达负指数服务时间排队模型 其他排队模型 经济分析 第一节 基本概念 一、排队现象 超市、银行、医院排队， 流水线上产品、路口汽车、待接线员接通的电话…… ——有形的、无形的；可以是人、可以是物 二、研究目的 研究如何以较低的成本取得较高的服务水平，减少等待、提高效率。解决交通堵塞、服务台拥挤、产品待机加工等问题。 由于顾客到达时间和服务台服务速度的不确定，也称之为随机服务系统理论。 三、排队系统一般描述 为了一致起见，被服务对象统称“顾客”，服务者为“服务员”或“服务机构”。基本组成部分：输入过程、排队及排队规则、服务机制。  四、符号表示 X\Y\Z\A\B\C 五、排队形式 六、主要指标 队长Ls、排队长 Lq 系统中所有的顾客总数 正在排队的顾客数 逗留时间Ws、等待时间 Wq 顾客进入系统到接受服务后离开系统的时间 顾客排队时间 忙期、闲期、 服务台连续服务的时间长度 服务台连续空闲的时间长度 服务强度 服务台处于繁忙状态的概率 顾客损失率 损失制或混合制下，顾客到达却未进入系统接受服务的概率或百分比 注：本章研究的均为平稳过程，即输入、输出过程的概率分布、参数均不随时间变化，与所选取的时间起点无关 七、随机过程知识准备 系统的状态 系统中的顾客数，即如果系统中有n个顾客即说系统状态为n。在平稳过程中，在时刻t、系统状态为n的概率Pn(t)是不变的，即Pn(t) ＝Pn是不随时间变化的统计平衡状态解。 Poisson过程 设Pn(t1，t2)为在时间区间[t1，t2)内有n个顾客到达的概率，如果Pn(t1，t2)满足下面三个条件： 独立性（无后效性）：在不相重叠的时间区间内顾客到达情况是相互独立的，不会彼此影响； 平稳性（与时间无关）：在[t, t+△t)内有一个顾客到达的概率与t无关，但与区间长成正比，即 P1(t，t +△t)=λ△ t+o(△t)， 其中λ是单位时间有一个顾客到达的概率(速率)； 对于充分小的△t，在[t, t+△t)内有2个或以上的顾客到达的概率小到可以忽略，即 Pn(t，t +△t)=o(△t)； 则称顾客到达过程为poisson过程。 负指数分布 设顾客到达的时间间隔T为独立且为相同的负指数分布， E[T]=1/λ σ[T]=1/ λ 则 无记忆性：一个顾客到来所需的时间间隔与事件发生的时间点无关，即之前已经有s时间没有顾客来，在接下来的t时间也没有顾客来的概率不依赖于s的大小， P{Tt+s|Ts}=P{Tt}； k阶爱尔朗分布 设T1……Tk为k个独立且服从参数为kμ的相同负指数分布的随机变量。 则随机变量 T= T1+ T2 ……+Tk 服从k阶爱尔朗分布 其概率密度为 E[T]=1/μ Var[T]=1/(kμ2) 例如，k个串联服务台彼此独立，且服从参数为kμ的相同负指数分布，则一个顾客走完所有服务台需要的服务时间服从k阶爱尔朗分布。 八、描述顾客到达过程和服务过程 定义Ti为第i+1个顾客和之前的第i个顾客的到达时间间隔。假定Ti（i＝1,2,3…）为由相同的随机变量T描述的独立、连续的随机变量，即： Ti不会影响后面的Ti+1、Ti＋2…… 时间间隔不会正好是整数，符合现实 每个到达时间间隔的分布与发生的具体的某个时间点无关 顾客到达是纯随机的，假定顾客到达时间间隔服从负指数分布，由无记忆性知道 P{Tt+s|Ts}=P{Tt} 即之前已经有s时间没有顾客来，在接下来