[工学]分析力学复习资料-4.doc

1（刘延柱19-1）一半径为R、厚度为h、质量为m的均质圆盘，上下面边缘处沿x轴方向反对称的增加两个质量为m0的质点，如图所示，计算此圆盘的转动惯量和惯性积 解： 2（刘延柱19-2）求边长为，质量为的均质长方体对其对角线的转动惯量。 对角线长为 对角线上的单位的单位矢量为 19-3）求图示质量为m，边长为的均质矩形板对点o的惯量矩阵。并求a=b时此正方形板对点o的惯量主轴及主转动惯量。 对0点惯量矩阵为： 当a=b时，简化为 显然即为一个主方向，其他两个主方向与垂直，设其中一个方向与夹角为，则另一个主方向与夹角为，由于对称性，。即两个主方向为 19-4）一厚度可以忽略不计、半径为、质量为的均质圆盘由于安装不好，其转动轴与圆盘的中心轴有一偏角，如图示。试计算圆盘对的惯量矩阵。其中轴沿圆盘径向，同时垂直于轴和轴。 5（刘延柱19-5） 设主转动惯量为，则 ， ， ， 按由小到大的顺序排列，主转动惯量分别为。对应于的特征矢量的列阵由下式确定 对应于的特征矢量的列阵由下式确定 对应于的特征矢量的列阵由下式确定 以下是按Mathcad计算的过程。 ， ， ， ，= 如果采用试探的方法求出一个主方向和主值，其他两个主值便可由一元二次代数方程决定便于求解。对于正方形板主轴方向为 和，那么对于截面为正方形的棱柱，和是否还是主方向呢？先用尝试， = 可见，的确是主轴方向，而且主转动惯量为。另外两个主值按不变量（关系）计算， ， 将代入上面两式，得到 (1) (2) 从（1）容易得到， (3) 代（3）入（2），得到 可以得到 ，。 6 （刘延柱19-6）均质细杆AB长，重,其中点与转动轴CD刚联接，设沿CD，在AB与CD形成的平面，写出杆AB相对的惯量椭球方程。杆AB相对的惯量 惯量椭球方程 7(刘延柱19-7) 均质杆AB长，重W，其一端绕水平轴A在铅锤平面内摆动，同时绕铅锤轴z转动。设在某一瞬时，AB与铅锤线成角，角速度分别为和，如图。 求此瞬时杆AB的动能以及对点A的动量矩。 角速度分量列阵为 杆AB对A点的转动惯量在本体系下的分量构成的矩阵为 杆AB的动能为 杆AB的动量矩在本体系下的分量列阵为 杆AB的动量矩为 8（刘延柱19-8） 一顶角为的均质正圆锥体在平面上绕其顶点无滑动匀速滚动如图。已知圆锥体质量为，底面半径为，底面中心的速度为。求其动能及对点的动量矩。 , 9（刘延柱19-9）图示匀质杆AB，质量为m，长2b，相对于过质心的水平轴以转动，整个系统绕铅锤轴以转动，求杆AB对点的动量矩及动能。 10（刘延柱9-10）一长方体可绕水平轴AB转动，此轴又可绕通过点的铅锤轴转动，如图所示。长方体质量为，长、宽、厚分别为，质心至点的距离为。试给出长方体的动力学方程。 轴AB绕铅锤轴的转动角为，长方体绕轴AB的转动角为，则长方体的（绝对）角速度列阵为 即 长方体对O的转动惯量 （1）和（2）即为长方体的动力学方程19-11） 一高速转动的两自由度陀螺仪的基座固定在一匀速转动的球体上，使陀螺仪的CD轴通过球心，并于球体的转轴z有一交角，如图。如利用此球体模拟地球自转，则CD轴在铅垂线上，AB轴在水平面内，球体的角速度地球自转角速度（约为陀螺仪转子自转角速度的）。试证明转子的转轴在子午面内指示南北是该陀螺的一个特解。支架的质量略去不计。 ，转子绕的转角为，。 采用以下5套坐标系： ：惯性坐标系，基矢量为。 ：与地球固联的坐标系，基矢量为。 ：大地坐标系，沿（或），即沿铅垂线；沿纬度线，即沿东西；沿子午线，即沿南北；基矢量为。 ：与AB固联的坐标系，基矢量为。 ：与转子固联的坐标系，基矢量为。 记AB轴绕CD轴的转角为，转子绕AB轴的转角为，则有 地球自传角速度在的分量构成的列阵为，变换到坐标系，分量为 变换到坐标系，分量为 又转子相对于地球的角速度在的分量构成的列阵为 转子的（绝对）角速度在系下分量构成的列阵为 由于转子的运动是给定的，所以陀螺仪仅有一个自由度，即陀螺仪支架绕AB轴的转角。假设轴AB处的摩擦可以忽略，则对于虚位移，主动力的虚功，因此对应于广义坐标的广义力为。系统得动能为 列写第二类Lagrange方程，有 显然，是一特解。 如果考此题，请优先采用这种方法。因为这种方法不涉及概念把握的问题。 11（刘延柱19-11） 一高速转动的两自由度陀螺仪的基座固定在一匀速转动的球体上，使陀螺仪的CD轴通