[工学]ch2离散傅立叶变换.doc

第二章 离散傅里叶变换 问题的提出 有限长序列的傅里叶分析 离散傅里叶变换的性质 利用DFT计算线性卷积 利用DFT分析信号的频谱 2.1 有限长序列的傅里叶分析 2.1.1 四种信号傅里叶表示 1. 周期为T0的连续时间周期信号 频谱特点： 离散非周期谱 连续时间周期信号 连续周期信号及其频谱 2. 连续时间非周期信号 频谱特点： 连续非周期谱 连续时间非周期信号 连续非周期信号及其频谱 3. 离散非周期信号 频谱特点： 周期为2(的连续谱 离散时间非周期信号 离散非周期信号及其频谱 4. 周期为N 的离散周期信号 频谱特点：周期为N的离散谱 离散时间周期信号 四种信号的时域与频域对应关系 FT FS DTFT DFS 2.1.2 有限长序列离散傅里叶变换 IDFT DFT 符号表示 有限长序列DFT与DTFT关系 有限长序列x[k]离散傅里叶变换X[m]是其离散时间傅里叶变换 X(ej)在一个周期[0,2)的等间隔取样 DFT与DFS关系 DFT可以看成是截取DFS的主值区间构成的变换对 例: 求有限长4点序列 的DFT 如果序列后补零，其DFT有何变化? 2.1.3 DFT矩阵表示 有限长4点序列DFT矩阵表示 X[m]={2，2，-2，2}, m=0,1,2,3 DFT矩阵形式为 其中 IDFT矩阵形式为 dftmtx(N)函数产生N×N的DFT矩阵DN conj(dftmtx(N))/N函数产生N×N的IDFT矩阵DN-1 四、利用MATLAB计算DFT fft(x) fft(x,N) ifft(x) ifft(x,N) fft(x) 计算M点的DFT。M是序列x的长度。 fft(x,N) 计算N点的DFT。 MN，将原序列裁为N点计算N点的DFT； MN，将原序列补零至N点，然后计算N点DFT。 利用MATLAB计算16点序列x[k]的512点DFT k = 0:15; L = 0:511; f = cos(2*pi*k*4./16); F = fft(f); plot(k/16,abs(F),o); hold on FE = fft(f,512); plot(L/512,abs(FE)) 2.2 离散傅里叶变换的性质 1. 线性 需将较短序列补零后，再按长序列的点数做DFT 2. 循环位移(Circular shift of a sequence) 循环位移定义为 DFT时域循环位移特性 DFT频域循环位移特性 3. 对称性(symmetry) 周期共轭对称(Periodic conjugate symmetry)定义为 周期共轭反对称(Periodic conjugate antisymmetry)定义为 当序列x[k]为实序列时，周期偶对称序列满足 当序列x[k]为实序列时，周期奇对称序列满足 对称特性 当x[k]是实序列时 4.循环卷积 定义 卷积定理 2.3序列DFT与z变换的关系 x[k]的 X[m]等于其z变换X(z)在单位圆上等间隔取样 设序列x[k]的长度为N (内插公式) 2.4 利用DFT计算线性卷积 一、两个有限长序列的线性卷积 问题提出: 实际需要： LTI系统响应 y[k]=x [k](h[k] 可否利用DFT计算线性卷积？ 例：x1[k]={1,1,1}, x 2[k]={1,1,0,1} , N=4 若x[k]的长度为N，h[k]的长度为M，则L=N+M-1点循环卷 积等于x[k] 与h[k]的线性卷积。 例：利用MATLAB由DFT计算x[k]* h[k]。 x[k]={1, 2, 0, 1}, h[k]={2, 2, 1, 1} % Calculate Linear Convolution by DFT x = [1 2 0 1]; h = [2 2 1 1]; % determine the length for zero padding L = length(x)+length(h)-1; % Compute the DFTs by zero-padding XE = fft(x,L); HE = fft(h,L); % Determine the IDFT of the product y1 = ifft(XE.*HE); 二、长序列和短序列的线性卷