8的.2参数估计课件.ppt

8.2 参数估计 一.参数的点估计 * * 我们自然会想到利用这一组数据来估计这一个或 在实际问题中，经常遇到随机变量X（即总体X） 的分布函数的形式已知，但它的一个或者多个参数 未知的情形，此时写不出确切的概率密度函数.若通 . 过简单随机抽样，得到总体X 的一个样本观测值 参数估计 点估计 区间估计 用某一数值作为参数的近似值 在要求的精度范围内指出参数所在的区间 诸如此类利用样本去估计总体未知参数的问题， 称为参数估计问题. 分为点估计和区间估计 经常考虑的参数包含下面几种 1)总体分布中所含参数; 2)总体分布的某种特征数, 如总体均值,方差, 标准差等; 3)某事件的概率,或具有某特性的对象在总体所占的比率. 参数的取值范围称为参数空间, 用 来表示 1. 参数与参数空间 设总体X 的分布函数 形式已知，其中 θ是待估计的参数， 点估计问题就是利用样本 构造一个统计量 来估计θ 我们称 为θ的点估计量 它是一个随机变量。 2. 矩法估计 将样本观测值 代入估计量 ，就得到它的一个具体数值 ,称之为θ的点估计值. 定义 设?是随机变量, 若E(?k) ,k=1,2,?存在， 则称它为?的k阶原点矩或k阶矩。 若E[(?-E?)k] ，k=1,2,?存在则称它为?的k阶中心矩。 由定义知,数学期望E?是?的一阶原点矩；方差 D?是?的二阶中心矩. 定义 用样本矩来代替总体矩,从而得到总体分布中参数的一种估计.这种估计方法称为矩法估计.它的思想实质是用样本的经验分布和样本矩去替换总体的分布和总体矩. 矩法的优点是简单易行, 并不需要事先知道总体是什么分布。 缺点是，当总体类型已知时，没有充分利用分布提供的信息。一般场合下, 矩估计量不具有唯一性。 其主要原因在于建立矩法方程时，选取那些总体 矩用相应样本矩代替带有一定的随意性。 常用的一些估计 解 总体X的期望为 用样本均值估计总体均值 所以λ的矩估计量为 解: 其概率密度函数为 总体X 的期望为 从而得到方程 所以λ的矩估计量为 解: 由于 故令 3. 点估计的评价 对于总体的同一个未知参数，由于采用的估计方法不同，可能会产生多个不同的估计量。这就提出了一个问题，当总体的同一个参数存在不同的估计量时，究竟采用哪一个更好？这涉及到用什么样的标准来评价估计量的好坏问题，对此，我们介绍几个常用的评价标准：无偏性、有效性和一致性。 在评价一个估计量的好坏时, 我们当然希望估计量与被估参数越接近越好. 但估计量是一个随机变量, 它的取值随样本的观测值而变,有时与被估参数的真值近些, 有时远些,我们只能从平均意义上看估计量是否与被估参数尽量接近,最好是等于被估参数.于是有无偏估计量的概念. 一个参数的无偏估计量不是唯一的, 假若参数θ有两个无偏估计量 ,我们认为其观测值更密集在参数θ真值附近的一个较为理想.由于方差是随机变量取值与其数学期望的偏离程度的度量,所以无偏估计以方差小者为好.这就引出了估计量的有效性这一概念. 证明 由于总体服从泊松分布，故 同理 但是 例 对明年小麦的亩产量作出估计为: 即 若设X表示明年小麦亩产量,则估计结果为 区间估计 二　参数的区间估计 点估计有使用方便、直观等优点, 但它并没有提供关于估计精度的任何信息,为此提出了未知参数的区间估计法. 明年小麦亩产量八成为800-1000斤. P(800≤X≤1000)=80% 对应总体的某一个样本观测值，我们可以得 的一个观测值，但是它仅仅是参数. θ的一个近似值. 由于 是一个随机变量，它会随着样本的抽取而随机 变化，不会总是和θ相等，而存在着或大、或小， 或正、或负的误差.即便点估计量具备了很好的性质， 但是它本身无法反映这种近似的精确度，且无法 给出误差的范围. 到点估计量 为了弥补这些不足，我们希望估计出一个范围， 并知道该范围包含真实值的可靠程度.这样的范 围通常以区间的形式给出，同时还要给出该区 间包含参数θ真实值的可靠程度.这种形式的估 计称之为区间估计. 定义 1.置信区间与置信度 说明 这时必有 2.正态总体均值μ的区间估计 首先由定理8.1知 因此 例 已知幼儿身高服从正态分布，现从5~6岁的幼儿中随机地抽查了9人，其高度分别为： 115,120,131,115,109,115,115,105,110cm; 解