[工学]§23 行列式按一行或已列的展开以及行列式的计算.pptVIP

向量与矩阵的基本运算 例 求行列式的值 解： 作 按第1列展开 再按第1列展开 思考题 求第一行各元素的代数余子式之和 1. 设n阶行列式 解答： 第一行各元素的代数余子式之 和可以表示成 2. 设 求 及 =4 =0 3. 计算 解： 依第n列把Dn拆成两个行列式之和 第一个行列式将第n列的(－1)倍分别 加到第1, 2,..., n－1列, 第二个行列式按第n列展开, 得 §2.3 行列式按一行或一列的 展开及行列式的计算 其中, A1j(j=1,2,3)是划去a1j所在的行与列后构成的2阶行列式的 倍. 观察三阶行列式 上式说明D3 等于它的第一行每个元素a11, a12, a13与 A11, A12, A13的乘积之和，叫做D3按第一行展开. 这一结论可以推广到n阶行列式，我们定义： 定义4 在n阶矩阵A=(aij)n中, 划去元素 aij 所在的第i行与第j列, 由余下的元素按原顺序构成的n-1阶行列式叫aij的余子式(cofactor), 记为Mij 且 称为aij 的代数余子式(algebraic cofactor). 例如 行列式的每个元素aij都有一个余子式Mij 和一个代数余子式Aij . ?(2) 行列式的任一行的每个元素与另一行对应元素的代数余子式乘积之和为零，即 定理4 设A=(aij)n , Aij为aij的代数余子式, (1) 行列式等于它的任一行的每个元素与 其代数余子式乘积之和，即 证明：(1) 注意 于是由行列式定义的推论1，有 (2) 当i≠k时, 不妨设i＜k, 将|A|的第k行换成第i行, 其余行不变, 则第k行元素的代数余子式不变, 行列式的值变为零, 由(1)的结论将行列式按照第k行展开, 得： 第i行 第k行 将(1)(2)统一写成公式 注意：由于行列式的行和列地位对称， 行列式也可按列展开： 根据矩阵乘法的定义，可得到下面的结果： 定义5 设A=(aij)n , Aij为aij(i,j=1,2,...,n)的代数余子式，构造矩阵 称为A的伴随矩阵(adjoint matrix). 根据前面的结果，下式明显成立： 注意：伴随矩 阵是按照转置 写出来的 例1 求3阶矩阵 的伴随矩阵A*与 行列式|A|. 解： 各元素的代数余子式 注意：行列式按一行或一列展开为我们提供一种计算高阶行列式的方法，通过展开可把高阶行列式转换成低阶行列式，便于计算. (2) 还可先利用性质将某一行(或列)化 为仅含一个非零元再按此行(或列) 展开,降为低一阶行列式,如此继续, 直到化为三阶或二阶行列式计算. 注： 常按含“0”元较多的行或列展开(以 简化计算). 在实际展开时: 另外, 一些含变元的高阶(如n 阶)行列式,不可能按照上述方法完全展开, 也需要利用行列式的展开定理, 选择n 阶行列式的某个含有较多零元的行(列)展开,化为较低阶的行列式, 进而得到递推公式. 例 计算行列式 解： 按第二行展开，得 例 例3 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式 证明：用数学归纳法证明. 假设对n－1阶范德蒙行列式结论成立. 下面证对n阶范德蒙行列式也成立. 当n=2时， 结论成立. 从第n行开始, 后行减去前行的x1倍: n－1阶范德蒙德行列式 上式右端的行列式是n－1阶范得蒙德行列式,由归纳假设，得 于是，由归纳法得 注：对于此类型行列式, 可直接用公 式计算. 例4 计算n阶三对角行列式 解法: 将Dn按第1行展开, 得 即: 同理： 当a≠b时，可得 当 a=b 时，由(1)得