[工学]12 复数的几何表示.ppt

第二节 复数的表示 2.3 复数的三角表示和指数表示 2.棣莫佛公式 棣莫佛资料 欧拉资料 作业 第一章习题 第28页 1.6,第(1)(3)题 1.8,第(1)(3)题 1.9,第(1)(4)题 Leonhard Euler Born: 15 April 1707 in Basel, SwitzerlandDied: 18 Sept 1783 in St Petersburg, Russia * 2.1 复数的模和辐角 2.2 复数模的三角不等式 2.3 复数的三角表示 2.4 用复数的三角表示作乘除法 2.5 复数的乘方与开方 2.6 小结与思考 2.1 复数的模(或绝对值)和辐角 显然下列各式成立 说明 辐角不确定. 3.辐角主值的定义: 当z在第一象限 当z在第二象限 当z在第三象限 当z在第四象限 当z在正y轴上 当z在负y轴上 当z在正x轴上 当z在负x轴上 2.2 复数模的三角不等式 利用直角坐标与极坐标的关系 复数可以表示成 复数的三角表示式 再利用欧拉公式 复数可以表示成 复数的指数表示式 欧拉介绍 注意： 由于复数的辐角有无穷多种，所以复数的三角表示不唯一. 即 则可推出 例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式: 解 故三角表示式为 指数表示式为 故三角表示式为 指数表示式为 例2 解 (三角式) (指数式) 定理1：两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和. 证 2.4 用复数的三角表示作乘除法 两复数相乘就是把模数相乘, 辐角相加. 从几何上看, 两复数对应的向量分别为 [证毕] 由此可将结论推广到 n 个复数相乘的情况: 定理2：两个复数的商的模等于它们的模的商; 两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差. 证 按照商的定义, [证毕] 例2 解 1. n次幂: 2.5 复数的乘方与开方 棣莫佛公式 棣莫佛介绍 推导过程如下: 根据棣莫佛公式, 当k以其他整数值代入时, 这些根又重复出现. 从几何上看, 例3 解 即 例4 解 即 例5 例6 应熟练掌握复数乘积与商的运算. 在各种形式中 以三角形式、指数形式最为方便: 棣莫佛(de Moivre)公式 放映结束，按Esc退出. 2.6 小结与思考 学习的主要内容有复数的模、辐角;复数的各种表示法. 思考题 是否任意复数都有辐角? 思考题答案 否. 它的模为零而辐角不确定. 放映结束，按Esc退出. Abraham de Moivre Born: 26 May 1667 in Vitry (near Paris), FranceDied: 27 Nov 1754 in London, England