概率2-7讲义.ppt

备用例题 有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态分布, 即 更一般地, 可以证明: 为确定积分限,先找出使被积函数不为 0 的区域 例 若 X 和Y 独立, 具有共同的概率密度 求 Z=X+Y 的概率密度 . 解 由卷积公式 也即 暂时固定 故 当 或 时 , 当 时 , 当 时 , 于是 设X和Y的联合密度为 f (x,y) , 则 和 的概率密度为 特别地，当 X 和 Y 独立，设 (X,Y) 关于 X , Y 的边缘密度分别为 fX (x) , fY (y) , 则上述两式化为: 设 X 和 Y 独立，求Z= Y /X的概率密度。 例 某公司提供一种地震保险，保险费 Y 和保险赔付 X的概率密度分别为 解 （3）M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布 设 X，Y 是两个相互独立的随机变量，它们的分 布函数分别为FX(x) 和 FY(y),我们来求 M = max(X,Y) 及 N = min(X,Y) 的分布函数. FM(z)=P(M≤z) =P(X≤z,Y≤z) 由于 X 和 Y 相互独立,于是得到 M = max(X,Y) 的分布函数为: =P(X≤z)P(Y≤z) FM(z) 1. M = max(X,Y) 的分布函数 即有 FM(z)= FX(z)FY(z) 即有 FN(z)= 1-[1-FX(z)][1-FY(z)] =1-P(Xz,Yz) FN(z)=P(N≤z) =1-P(Nz) 2. N = min(X,Y) 的分布函数 由于 X 和 Y 相互独立,于是得到 N = min(X,Y) 的分布函数为: =1- P(Xz)P(Yz) FN(z) 设 X1,…,Xn 是 n 个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为 用与二维时完全类似的方法，可得 N=min(X1,…,Xn)的分布函数是 M=max(X1,…,Xn)的分布函数为: (i = 1, …, n) 推广 特别地，当X1,…,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时，有 N= min ( X1,…,Xn )的分布函数是 M= max ( X1,…,Xn )的分布函数为: 例6 设系统 L 由两个相互独立的子系统 连接而成,连接的方式分别为 (i) 串联, (ii) 并联, (iii) 备用 (当系统 损坏时, 系统 开始工作) , 如下图所示.设 的寿命分别为 已知它们的概率密度分别为 其中 且 试分别就以上三种连接方式写出 的寿命 的概率密度. X Y X Y X Y X Y 解 (i) 串联的情况 由于当系统 中有一个损坏时, 系统 L 就停止工作, 所以此时 L 的寿命为 因为 X 的概率密度为 所以 X 的分布函数为 于是 的分布函数为 = 1-[1-FX(z)][1-FY(z)] 的概率密度为 类似地 , Y 的分布函数为 X Y (ii) 并联的情况 由于当且仅当系统 都损坏时, 系统 L 才停止工作, 所以此时 L 的寿命为 故 的分布函数为 X Y 于是 的概率密度为 (iii) 备用的情况 因此整个系统 L 的寿命为 由于当系统 损坏时, 系统 才开始工作, 当 z 0 时 , 当 z 0 时 , 当且仅当 即 时, 上述积分的被积函数不等于零. 故 概率论 概率论 第七节 随机变量的函数的分布 问题的提出 一个随机变量的函数的分布 多个随机变量的函数的分布 小结 一、问题的提出 在实际中，人们常常对随机变量的函数 更感兴趣. 求截面面积 A= 的分布. 比如，已知圆轴截面直径 d 的分布， 再比如 ，已知 t=t0 时刻噪声电压 V 的分布， 求功率 W=V2/R ( R 为电阻）的分布等. 设随机