从一题多解探究几何解题思路的本质1.doc

从一题多解探究几何解题思路的本质 内蒙古赤峰市喀喇沁旗乃林蒙族实验中学 （024417）雷金 一道题有多种解法，有的繁琐，有的简洁，有的技巧性强，有的自然质朴。从解题的效果相同和思维的出发点不同上看，各种方法没优劣之分，往往还起到了开阔眼界，活跃思维的作用。几何教学的一个重要任务是开阔思维，锻炼思维，发展思维。几何题中一个最大的难点就是对需要借助辅助线解答的问题怎样添加辅助线。在几何教学中不能总是靠题海战术不断丰富各种技巧和方法，那样做的结果只能是使学生大量记忆结论和模仿，禁锢了学生思维能力的发展。例如有的教师为了省时高效，让学生记忆辅助线的做法——“两圆相交，连公共弦，见了圆心连半径，两圆相切做公切线…”这种口诀式的方法对简单问题的处理确实有效,但问题复杂一些,学生就望洋兴叹了,就其原因是因为思维没有真正动起来.文[1]对几何解题思路的形成过程进行了动态分析,试图找到有效解决问题的方法,但是遗憾的是作者没能真正揭示出这些解题思路的本质规律.笔者结合一题多解的两个例题尝试进行了更深入的挖掘,发现了解题思路的本质规律。 不同方法的一致性 如图1，设D是△ABC内的一点，满足∠DAC =∠DCA=300，∠DBA=600,E是BC边的中点，F时AC边的三等分点，满足AF=2FC. 求证：DE⊥EF. 1.1方法一：如图2，作DM⊥AC,垂足为N,连接EM、EN. 设CF=a,AF=2a,易知CM=a,故CD==a,则 CN=CF·cos300==CD. 即N时CD的中点。又因 为M时AC边上的中点E是BC边上的中点，故EM∥AB,EN∥BD. 得∠MEN=∠ABD=600=∠MDC,故M、D、E、N四点共圆。 又显然有M、D、F、N四点共圆,所以M、D、E、F、N五点共圆。从而∠DEF=900. 方法二：以AD为边向外作正△ABD为等边三 角形的情形，这时易知B、D、C在同一条直线上， 且BD=DC=AD, ∠BAC=900.这时，D、E两点重合， 当然我们要证的是DE⊥EF，所以要考察人意的点B, DE是△CBB的中位线，于是BB∥DE.由于易知 ∠BBG=900(G为弧AD与AC的交点)，所以只需证BG∥EF,这样问题就归接到证明G是否为AC的另 一个三分点，故BG=GC,故AG=GC. 文[1]指出，方法二表明B点在弧AB（事实上是弧AD）上运动时,结论仍成立。从这一点上看方法二似乎更能揭示问题的本质，事实上二种方法的统一之处才真正揭示了问题的本质，仔细观察我们会发现图1中△EFN与△ABD是位似关系，图2中△BBG与△DEF是位似关系,相似比都是2.也就是说，两种方法都是通过一定比例的缩小或放大某一图形使已知条件相对集中，产生了综合联系，相互作用，使问题得以解决。 变换相似比（任意正数）还可以得到新方案。为了看得清楚和便于操作我们只研究放大整数倍的情形。例如，沿直线CD放缩，把DE、EF放大3倍。 方法三:如图4，延长EB至M点，使BE=BM,作MP∥DE交CD延长线于点P, 作MN∥BA交CD延长线于点N, 作NG∥AD交CD延长线于点G,连接MG、PN、MA、MG、AG. 通过作法可以知道△ABD放大倍为△NMG, △NMG放大3倍为△PMA. ∵DE∥PM∴∴3CD=PC ∵MG∥BD∴ ∴DG=CD ∴C=CD=PC 即G为PC 的中点 ∵NG∥AD，AD=CD∴GN=CG∴PG=GC=GN ∴△PNC为Rt△∴∠GPN=600又∵∠GMN=600 可知P、N、G、M四点共圆。 ∵∠GDA=600∴cos∠GDA=∵GD=CD=AD∴∴∠BGA=900 又∵∠PNC=900∴P、N、A、G四点共圆∴P、N、A、G、M五点共圆∴∠PMA=900 ∴DEF=900 从方法一、方法二、方法三，可以看出放大缩小多少倍都可以，接替关键是要使△ABD、 △ACD、DE、EF等各自具备的条件聚合在一起并发生作用，形成合力，最后解决问题。 1.2还可以沿着其他方向进行放缩、综合。 1.2.1方法四：如图，沿着BD把△ACD、DE、EF扩大三倍到△ACD、DE、EF位置，作EG∥BD交CD于G, 作DJ⊥AC垂足为J，连接GF、EJ. ∵ ,BE=EC ∴BE=EC=CE=s(设为s) ∵BC= 6 s∴EC=3 s 即BE=EC ∵ AD=DC ,DJ⊥AC ∴AJ=JC,∠JDC=600 EJ∥AB ∴∠JEG=∠ABD=∠JDC=600 ∵ EG∥BDBE=EC, DG=GC 在Rt△CDJ中，cos∠DCJ= cos300=∴AC=CD ∴ ∴FG⊥CD.然后证明D、E、G、F、J五点共圆得DE⊥EF，从而DE⊥EF。 1.2.2方法五：如图，沿着AD把△AC