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第四讲：实数 【知识要点】 一、实数：有理数和无理数统称为实数。 1、实数有以下两种分类方法： （1）按定义分类 （2）按大小分类 2、实数中的倒数、相反数、绝对值概念和有理数一样，例如的相反数为，倒数为，的绝对值为。 3、实数与数轴上点的关系： 实数和数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都可以用一个实数表示。 4、实数的运算： （1）关于有理数的运算律和运算性质，在实数范围内仍适用。 （2）涉及无理数的计算，可根据问题的要求取其近似值，转化为有理数进行计算。 二、二次根式：一般地，式子叫做二次根式，其中叫做被开方数。 1、二次根式的性质： （1）； （2）； 2、最简二次根式： （1）被开方数的因数是整数，因式是整式。即被开方数不含有分母。 （2）被开方数中不含有能开尽方的因数或因式。即被开方数中每个因数或因式的指数都小于根指数2。 3、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式。 4、二次根式的运算： （1）．二次根式的运算法则： ； ； ； ； （2）．分母有理化 （3）．二次根式的混合运算 三、非负性及应用： 1、非负数包括正数和零 2、常见的非负数有实数的绝对值，实数的偶次方，非负实数的算术平方根等，用符号表示如下： ①若a是实数，则； ②若a是实数，则（n为正整数），当n=1时，a2≥0； ③（n为正整数）在实数范围内有意义，则，此时； 3、非负数有如下性质： ①有限个非负数之和是非负数； ②有限个非负数之和是零，则每一个非负数是零。 【典例解析】 1、无理数的识别与估算方法 例1 、（1）在实数3.14，，，，，0.10110111011110…，π，中，哪些是有理数，哪些是无理数？ （2）估算的值（ ） A．在5和6之间 B.在6和7之间 C.在7和8之间 D.在8和9之间 2、实数的大小比较方法 例2、（1）比较大小：7__________（填“”“”或“” ） （2）已知，，则、的大小关系为_________ （3）比较大小：当实数时，_______.（填“”或“” ） 3、实数有数轴的关系 例3、如右图：数轴上点A表示的数为x，则x2－13的立方根是（ ） A.－13 B.－－13 C.2 D.－2 4、实数的运算 例4、（1）； （2）； （3）； （4）。 5、实数性质的使用 例5、（1）化简： ； （2）实数a，b在数轴上所对应的点的位置如图所示，则2a___________0；a＋b__________0； －｜b－a｜________0；｜2a｜－｜a＋b｜＝________。 例6、（1）已知，求的值。 （2）已知的整数部分为，小数部分为，则=________ 【课堂检测】 1、在中，属于有理数的是 _____属于无理数的是 ___ 2、（1） ； 。 （2） 。 （3）若= 。 （4）计算 。 3、比较大小（1） （2） 。 4、下列语句中不正确的是（ ） A．无理数是带根号的数，其根号下的数字开方开不尽； B．8的立方根是±2； C．绝对值等于的实数是； D．每一个实数都有数轴上的一个点与它对应。 5、与相乘，结果为1的数是（ ） A． B． C． D． 6、下列计算正确的是（ ） A B C.D． 7、数轴上表示实数的点在表示的点的左边，则式子的值是（ ） A．正数 B．-1 C．小于-1 D．大于-1 8、化简，甲、乙两同学的解法如下：甲：； 乙：，对于他们的解法，正确的是（ ） A．甲、乙的解法都正确 B．甲正确、乙不正确 C．甲、乙的解都错误 D.正确、甲不正确 9、计算或化简：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）已知，求 （6）已知的值。 10、已知y=+18,求代数式的值。 11、细心观察右图和认真分析下列各式，然后解答