[理学]浅谈差分方程的应用.pdfVIP

维普资讯 2006年 8月 中央民族大学学报 (自然科学板 ) Aug．2006 第 15卷 第 3期 JournaloftheCUN(NaturalSciencesEdition) 、’0ll5 No 3 浅谈差分方程的应用 杨清霞 (中央民族大学预科部 ，北京 100081) 摘 要 ： 本文给出了差分方程的三个实际 u『]题模 型 ，l片对模型做 了简单的讨论 关键词 ： 线性 ；差分方程 ；模型 中图分类号：G642 文献标识码 ：A 文章编号 ：1005—8036(2006)03．0282．04 随着信息技术的日益普及和发展 ，离散数学的应用越来越广泛 ．数列的差分和差分方程这部分内 容 ，有很强的应用价值，可以看作是连续函数的导数和微分方程的离散化 ．并且在实际问题中，许多变 量的变化都是通过差分来分析的． 差分的应用十分广泛，但是许多大学并没有把它列入基础课 的内容 ，甚至数学系的学生也很少学 到 ，因此 ，本文想就一阶线性差分方程 、一阶线性差分方程组以及一阶非线性差分方程三方面的问题， 分别举 出生活中的实例，希望能对学生在领会差分方程的应用上有所帮助 ， 1 一阶线性差分方程的应用一减肥模型 1．1 模型 引入 随着人们生活水平的提高，减肥健美之风 日益盛行 ，正确地了解减肥机理对普通人来讲是一件有意 义的事情；另外 ，为了在市场紧缺时能及时提供合格的肉类 ，有关部门必须考虑如何在较短的时间内使 饲养牲畜达到增肥的 目的．这些貌似不 同的问题 ，其实在一定简化基础上的数学模型是相同的，下面 我们就来讨论减肥问题的数学建模… ． 1．2 建立模型 生物学和医学告诉我们 ，影响人体体重的主要因素有每天进食产生的热量 、人体活动 (特别是锻炼) 消耗的热量以及维持人体新陈代谢所消耗 的热量 ．我们从以上三方面人手定量进行数学建模 的分析， 当然，下面的模型不适用于遗传性肥胖的人 ． 用 Wn(单位 ：公斤)来表示某人在第 n天的体重 ，对于一个成年人来说 ，体重主要 由骨骼 、水和脂肪 三部分重量组成 ．而骨骼和水大体上可以认为是不变的(是一常数)，因而 ，可以把 W 理解为第n天脂 肪 的重量 ． 先做如下假设 ： 假设人体活动消耗的热量和体重 成正 比，记为 Bw，。(B0)，假设新陈代谢消耗 的热量和体重 也成正比，记为 C (C 0)，假设每天的进食热量都是一样的，为常数 A，并且 已知完全消耗 (“燃 烧”)一公斤脂肪会转化成约 D ：10000大卡的热量 ． 收稿 日期 ：2006．02．18 作者简介：杨清霞(1977一)，女(汉族)-U【东梁 山人 ，中央民族大学预科郎讲帅，硕土 维普资讯 第3期 杨清霞 ：浅谈差分方程的应用 由于我们把 理解为第n天脂肪的重量 ，而人体脂肪不可能全都转化成热量 ，所以有 0 + C D = 10000． 根据上述条件和热量守恒定律 ，建立体重 和它的差分△ 满足的差分方程 ． 一 个人从第 天到第 +1天 ，体重的变化为 △ ： 一 ，体内热量 的变化为 DAu，，而体内热 量的变化为进入人体 的热量减去消耗的热量 ，所以有 DAw =A一( +C) 这样，我们就得到 了用差分方程来描述的 “减肥”的数学模型 ． 1．3 模型的解 整理上述方程为： ： 一 记 。 ： ， = ， 则有 l= 。+(1一b) 此差分方程的通解为 ：