斯蒂芬问题和自由边界问题.PDFVIP

2016 第7卷第1期 数学文化 49 斯蒂芬问题和自由边界问题 蒋 迅 本文从科普的角度介绍一类特殊的非线性偏微分方程及其应用。我们先从最简单 的冰与水的相变引入这个概念，即自由边界问题，然后介绍在这类问题上最重要的人 物约瑟夫•斯蒂芬 （Joseph Stefan ）。最后介绍几个自由边界问题的例子。我们尽量不 涉及太深的偏微分方程的知识，希望能引起非数学专业读者的兴趣。 1. 什么是自由边界问题 图1 冰与水的自由边界模型 假设我们有一杯水，那么水的温度将受周围环境温度的影响。在常温环境的条件下， 杯中的水温也将稳定在同一个温度上。如果我们在杯子的旁边放一个热源的话，水的 温度将开始从距离热源最近的地方开始升温。水的温度变化满足热传导方程。让我们 u x y z t x y z t 记水的温度函数为 ( , , , ) ，其中( , , ) 是点坐标， 是时间。这时候，水杯中水 温的热传导方程就是 ∂u = α⋅Δu(x , y , z , t) (x , y , z) ∈Ω, ∂t ∂u u t α Δ x y z 其中 是温度 对时间 的偏导数， 是热扩散率， 是拉普拉斯算子，( , , ) 是 ∂t 水杯中的点，水杯中水所占据的空间就是区域 Ω。这些点的集合就是此热传导方程 能够得到满足的区域。为了保证方程解的唯一性，我们还需要给出这个区域的边界 条件和水温的初始条件。比如说，我们可以假定已知水杯边缘的温度和水在一开始 时的温度。 现在我们把问题稍微变化一点。假定我们在水杯里增加一块冰，由于冰和水有不 World of Mathematics 数学烟云 50 数学文化 第7卷第1期 2016 α α 同的热扩散率 和 ，它们分别在两个区域 Ω 和 Ω 中得到满足。于是我们就得到 S L S L 了两个热传导方程 ∂u = α ⋅Δu(x , y , z , t) (x , y , z) ∈Ω , ∂t s S ∂u = α ⋅Δu(x , y , z , t) (x , y , z) ∈Ω . ∂t L L S L 其中下标 代表固体 （solid ）冰所占区域， 代表液体 （liquid ）水所占区域。在这里， 我们仍然假定水杯边缘的温度是已知的。但是我们无法知道冰块的边界在哪里，而且 这个边界甚至是动态的。也就是说，我们无法预先知道上述两个方程成