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第0章 绪论 计算方法的作用 计算方法的内容 误差 一些例子 计算方法的特性 理论性：数学基础 实践性 内容 误差 绝对误差 相对误差 误差来源 原始误差－模型误差（忽略次要因素，如空气阻力）物理模型，数学模型 方法误差－截断误差（算法本身引起） 计算误差－舍入误差（计算机表示数据引起） 误差的运算 误差的运算 有效位数 当x的误差限为某一位的半个单位，则这一位到第一个非零位的位数称位x的有效位数。 有效数字 如果|e| = |x* - x|? 0.5 ?10-k 称近似数x准确到小数点后第k位,从这小数点后第k位数字直到最左边非零数字之间的所有数字都称为有效数字. 一些例子 几个基本概念及性质 1. 向量范数： 对任一向量X，按一定规则确定一个实数与其相对应，该实数记 为||X||，若||X||满足下面三个性质： （1）||X||?0，||X||=0当且仅当X=0。 （2）对任意实数? ，|| ? X||=| ? | ||X||。 （3）对任意向量Y?Rn，||X+Y||?||X||+||Y||。 则称该实数||X||为向量X的范数 2 .矩阵范数：设A是N?N 阶矩阵，定义 ||A|| = Max?（||AX|| / ||X||）= Max ||AX|| x?0,x?Rn ||x||=1,x?Rn 为矩阵A的(算子）范数。 矩阵范数的性质： （1）对任意非零矩阵A,有||A||恒为正数，当且仅当A=0，||A||=0. （2）||aA||=|a|||A||（a为任意实数） （3）对于任意两个阶相同的矩阵A，B恒有||A+B||?||A||+||B||. （4）对于与矩阵A有相同维数的向量X，恒有||AX|| ? ||A||? ||X||. （5）对于同阶矩阵A，B 恒有 ||AB|| ?. ||A|| ? ||B|| 谱半径： 设 n?n 阶矩阵A的特征值为? i(i=1,2,3……n),则称 ?(A)=MAX | ?i| 为矩阵A的谱半径. 1? i?n 矩阵范数与谱半径之间的关系为: ?(A) ? ||A||. * 现实中，具体的科学、工程问题的解决： 实际问题 物理模型 数学模型 数值方法 计算机求结果 计算方法是一种研究并解决数学问题的数值近似解方法 随着计算机的飞速发展，数值分析方法已深入到计算物理、计算力学、计算化学、计算生物学、计算经济学等各个领域。本课仅限介绍最常用的数学模型的最基本的数值分析方法。 计算方法连接了模型到结果的重要环节 1、数值逼近－数学分析中的数值求解，如微分、积分、 2、数值代数－线性代数的数值求解，如解线性方程组、逆矩阵、特征值、特征向量 3、微分方程－常微分，Runge-Kutta法、积分法 100亿/秒，算3,000年，而Gauss消元法2660次 设 为精确值， 为近似值， 为误差或绝对误差 例如： 作Taylor展开， 舍弃，即为误差 称为相对误差 例如：150分满考139，100分满考90，两者的绝对误差分别 为11和10，优劣如何？ 前者相对误差(150－139)/150=0.073， 后者相对误差(100-90)/100=0.100 1、 两相近数相减，相对误差增大 2、 3、 小数作除数，绝对误差增大 例子 求根 有效位的多少直接影响到近似值的绝对误差和相对误差 用四舍五入得到的数都是有效数字 有效数字越多,误差越小,计算结果越精确 例如:设 x1=1.73, x2=1.7321, x3=1.7320是其近似值,问它们分别有几位有效数字? 数值计算中值得注意的问题 一、防止相近的两数相减 (会耗失许多有效数字,可以用数学公式化简后再做). 例1: 各有五位有效数字的23.034与22.993相减. 23.034-22.993=0.041 0.041只有两位有效数字,有效数字的耗失,说明准确度减小,因此,在计算时需要加工计算公式,以免这种情况发生. 例2:当较大时,计算 二、防止大数吃小数. 当两个绝对值相差很大的数进行加法或减法运算时,绝对值小的数有可能被绝对值大的数吃掉从而引起计算结果很不可靠. 例:求一元二次方程x2-(108 +1)x