[工学]利用超松弛预处理共轭梯度法求解大型稀疏方程组.pdfVIP

第 10卷 第 10期 2010年4月 科 学 技 术 与 工 程 Vo1．10 No．10 Apr．2010 1671—1815(2010)10—2389—04 ScienceTechnologyandEn~nee6ng ⑥ 2010 Sci．Tech．Engng． 数 学 利用超松弛预处理共轭梯度法 求解大型稀疏方程组 陈春香 尹洪东 (中国石油大学 (北京)机 电工程学院，北京 102249) 摘 要 利用有限差分法构造大型稀疏方程组对井地电位成像测量非均质电阻率的三维正演进行研究。对于线性方程组 Ax=b，A是大型稀疏的带状矩阵，解大型稀疏方程组的直接共轭梯度法，一般要求巨大的计算机内存来存储系数矩阵A，而且 计算速度极其慢。因此引入按行索引的稀疏存储模式及超松弛预处理共轭梯度算法，充分利用系数矩阵A的稀疏性，使得需 要的内存大大减小，充分提高运算速度。这种方法对井地电位成像测量非均质电阻率的三维正演具有一定的实用价值。 关键词 共轭梯度法；超松弛预处理；行索引的稀疏存储模式 中图法分类号 O151．21； 文献标志码 A 井地电位成像测量技术是 20世纪80年代末发 直接法和迭代法，其中迭代法又有共轭梯度法…， 展起来的一种新型电测方法，通过开发井的套管向 超松弛迭代法，牛顿迭代，高斯迭代，雅克比迭代等 井下供人大功率的电流，在地表测量 由套管流入地 等。对于大型方程组问题，当系数矩阵的条件数不 层中的 “漏电流”，通过地下 电性介质后 ，在地表形 是太大，右端项又较少时，迭代法 比直接法的求解 成的电位分布，据此研究地下介质的电阻率分布。 效率更高。迭代法的种类如此之多，到底该选取哪 利用含油饱和度与电阻率的相关关系等方法，可以 种迭代法比较适合，这主要取决于系数矩阵的条件 得到储层中剩余油饱和度和剩余储量的空间分布， 数 。共轭梯度法用于解大型线性方程组本身是有 从而解决注水开发油藏油水分布的动态监测和高 不足之处的，当系数矩阵A接近单位矩阵时，共轭 含水开发期剩余油监测等。 梯度迭代方法收敛快；当系数矩阵A的条件数大于 由于油田的注水开发、压裂、酸化等措施的采 l0时，共轭梯度法迭代就非常慢了。本文采用超 用，地下储层 电阻率是及其不均匀的，因此简单的 松弛预处理的目的就是降低系数矩阵的条件数，从 电阻率求解公式不能满足要求，在正演计算中，探 而减少迭代次数与计算量的目的。 索采用地下空间模型的离散化，利用有限差分法构 造出大型方程组进行求解。 1 超松弛预处理共轭梯度法及其迭代格式 迄今为止，求解线性方程组的方法有很多，如 1．1 大型稀疏矩阵按行索引的稀疏存储模式 2009年 12月24日收到 按行索引的稀疏存储模式只要求存储系数矩 第一作者简介：陈春香 (1985一)，女，汉族，中国石油大学 (北京)检 阵A的非零元素，而不用存储带宽内的大量零元 测技术与 自动化装置硕士生，研究方向：井地电位成像理论。 素，大大节省了存储空间 。 2390 科 学 技 术 与 工 程 10卷 为描述矩阵A ，首先要建立两个一维数组 口 因子矩阵 ，目的是降低系数矩阵的条件数，以加快 和b，口为实数数组，b为整型数组，存储原则如下： 收敛速度。 (1)数组n的前 ～个元素为矩阵A的对角线 对于方程Ax=b，令M= W，则方程变为 元素，包括零元素，这不会增加太多存储量，而且实