[理学]线性代数1-1.pptVIP

预备知识--全排列及其逆序数 采用先选定百位数? 再选定十位数? 最后选定个位数的步骤? 引例 用1、2、3三个数字? 可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 解 百位数有3种选法? 十位数有2种选法? 个位数有1种选法? 因为3?2?1?6? 所以可组成6个没有重复数字的三位数? 321? 这6个三位数是 123? 132? 231? 213? 312? 预备知识--全排列及其逆序数 元素的全排列 把n个不同的元素排成一列，叫做这n个 n个不同元素的所有排列的总数? 通常用Pn表示? Pn的计算公式 Pn?n?(n?1)?(n?2)? ? ? 3?2?1?n!? 举例? 由a? b? c组成的所有排列为 cba? cab? bca? bac? acb? abc? abb是排列吗? 自然排列 若一个排列中的所有元素按标准次序 排列，则称之为标准排列或自然排列. 逆序数为奇数的排列叫做奇排列； 逆序数为偶数的排列叫做偶排列. 标准次序：由小到大的次序 时，就说有一个逆序。 当某两个元素的先后次序与标准次序不同 一个排列中的所有逆序的总数叫做这个 排列的逆序数. 例如排列 54231 t=9 5前面比5大的数有0个； 4前面比4大的数有1个； 2前面比2大的数有2个； 3前面比3大的数有2个； 1前面比1大的数有4个. t=0+1+2+2+4=9 5 4 2 3 1 观察二阶行列式 不同行不同列2个元素的乘积； 1项为正,1项为负； 2！项的代数和； 观察二阶行列式 当行标调成标准排列时 列标排列 逆序数t 1 2 2 1 0 + - 1 观察三阶行列式 3!项代数和 不同行不同列 三个元素的乘积 三项为正,三 项为负. 观察三阶行列式 当行标调成标准排列时 列标排列 逆序数t 123 0 + 231 2 + 312 2 + 321 3 - 213 1 - 132 1 - n 阶行列式定义 将n2个数排成n行n列的数表，按下列规 称为n阶行列式, 其中t为列标排列的逆序数。 则计算出的数，即 n 阶行列式定义的三个要点 （1）是n!项的代数和； 如果一个行列式有一行（或一列）的元素 全为零，则此行列式的值必为零。 （2）每一项的符号由逆序数的奇偶性确定； （3）每一项是取自不同行不同列的n个元素的乘积（这样的项恰有n!项）. 由行列式的定义不难看出： 四、思考与讨论 = -24 or 24 ? 例1 证明行列式 上三角形、下三角形及对角形行列式的值等于主对角线上n个元素的乘积? 解 因为它的列标排列为标准排列? 其逆序数为0? 所以在它前面带有正号? 要使取自不同行不同列的n个元素的乘积不为零? 第一行只能取a11? 第二行只能取a22? 第三行只能取a33? ? ? ? ? 第n行只能取ann? 乘积项只有一个? 即a11a22a33 ? ? ? ann? 因此 D?a11a22a33 ? ? ? ann? 解 若记?i?ai? n?i?1? 则依行列式定义 ?(?1)ta1na2? n?1 ? ? ? an1 其中t为排列n?(n?1)? ? ?21的逆序数? 故 t?0?1?2? ? ? ? ?(n?1) 例2 证明n阶行列式 因此 ?(?1)t?1?2 ? ? ? ?n? n 阶行列式也可以定义为： 行标逆序 小结 二阶行列式 三阶行列式 n阶行列式 四类特殊行列式计算 绪论 问题描述： Lagrange定理：给定n+1个不同点，插值这n+1 当我们手里握着n+1个黄豆，随意抛到地平面上，建立直角坐标系，每个黄豆将占据一点，求一条n次多项式曲线插值这n+1个点？ 个不同点的n次多项式曲线存在且唯一. 比如：100个黄豆，99次多项式曲线. 100个黄豆： 用高斯消元法求解麻烦！ 寻找新工具便于用计算机求解 4个黄豆模拟 绪论 一个应用：二次曲线和二次曲面的形状判定 线性代数的中心内容： 线性方程组求解 解的存在性 解的结构 由高斯消元法引入两个求解工具 行列式 矩阵 一个中心方法：矩阵的初等行变换 一次方程 第一章 行列式 本章我们将讨论： 方程个数和未知数个数相同，且 系数满足特定条件的线性方程组的求 解，从而得到行列式这个工具. 本节结构 二阶行列式的引出 三阶行列式的引出 n阶行列式的引出 四类特殊行列式计