[理学]矩阵第二章4矩阵分块法.pptVIP

§4 矩 阵 分 块 法 * 一、矩阵的分块 二、分块矩阵的运算 课前复习 使得 的逆矩阵记作 定义 对于ｎ阶矩阵Ａ，如果有一个ｎ阶矩阵Ｂ， 则称矩阵Ａ是可逆的， 并把矩阵Ｂ称为Ａ的逆矩阵. 说明 若Ａ是可逆矩阵，则Ａ的逆矩阵是唯一的. 定理1 若矩阵Ａ可逆，则 定理2 矩阵Ａ可逆的充要条件是 ，且 其中　为矩阵Ａ的伴随矩阵. 当 时，Ａ称为奇异矩阵； 当 时，Ａ称为非奇异矩阵. 运算规律 （设ＡＢ均是ｎ阶方阵） 1）若 且 2）若 且 3）若 ，且 同阶， 推广 4）若 且 5）若 6）若 且 且 （其中ｋλμ为整数） 7）其它的一些公式 8）一些规定 一、矩阵的分块 对于行数和列数较高的矩阵，为了简化运算， 经常采用分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的运 算. 具体做法是：将矩阵用若干条纵线和横线分成 许多个小矩阵，每一个小矩阵称为子块，以子块为 元素的形式上的矩阵称为分块矩阵. 注： 分块时首先满足 ，再考虑对角或三角矩阵， 然后考虑 以及其它的特殊矩阵. 按行分块或按列分块是两种特殊的分块形式. 二、分块矩阵的运算规则 1、矩阵的加法 设 与 为同型矩阵，采用相同的分块法，有 其中 与 为同型矩阵，则 分块矩阵的运算规律与普通矩阵运算规律相类似. 2、数乘 则 其中 那么 3、乘法 设 ，分块成 其中 的列数分别等于 的行数. 例1 设 解 则 又 于是 例2 其中 其中 4、转置 则 分块矩阵的转置为先大转置，而后小转置. 都是方阵. 5、分块对角矩阵 设Ａ为ｎ阶方阵，若Ａ的分块矩阵只有在主对角 线上有非零子块（这些非零子块必须为方阵），其余 子块全为零，那么方阵Ａ就称为分块对角阵. 即如 都是分块对角阵. 分块对角矩阵具有下述性质: 1） 2） 3）若 则有 若 ，则有 5）若 则 均为可逆方阵. 4）若 则 或 称为下（上）三角分块矩阵 三角分块矩阵的行列式具有下述性质: 或 其中A、B分别为 r 阶、k 阶可逆方阵，则有： 或 7、几种分块矩阵的逆矩阵: 证 其中A、B分别为 m 阶、n 阶可逆方阵，则有： 例2 设 解 例4 设 求 解