[理学]概率与数理统计总复习1.ppt

* * 第一章小结 一、基本要求 1.理解随机试验,样本空间和随机事件的概念,掌握随机事件的关系及运算. 2.理解概率的定义,掌握概率的基本性质,能计算古典概型,能用概率基本性质计算随机事件的概率. 3.理解条件概率的概念,掌握概率的乘法公式. 4.掌握全概率公式和贝叶斯公式,能计算较复杂随机事件的概率. 5.理解随机事件独立性的概念,能应用事件独立性进行概率计算. 二、随机事件的概率计算 1.随机事件的概率计算公式 随机事件的概率计算 直接计算 古典概型 间接计算 加法公式 差事件公式 乘法公式 对立事件公式 全概率公式 贝叶斯公式 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=… P(A+B)=P(A)+P(B)(A,B互斥) P(A-B)=P(A)-P(AB) P(A-B)=P(A)-P(B) (A?B) P(AB)=P(A)P(B?A)=P(B)P(A?B) P(AB)=P(A)P(B) (A,B独立) 为完备事件组 2.解决概率问题时,不仅要记住并熟练应用公式,更重要的是学会新的思考方法. (1)解决古典概型时,可按下列步骤进行: 1)构造样本空间,分析样本点的特征,利用排列、组合公式求出样本点总数n; 2)分析所求事件A中所包含的样本点,并计算所有的样本点总数. (2)解决复杂事件的概率计算的主要思路 : 把一个复杂事件分解成一些简单事件的和、差、积的形式,然后利用概率的性质或事件运算性质转化为简单事件的概率计算. 3.在计算时要充分注意有关条件,选择恰当的计算公式.例如,在选择加法公式时应注意事件之间是在互不相容关系;而在作乘法计算时,则应注意事件之间的独立关系,不能混淆. 周P23(1.24) 5.经过普查,了解到人群患有某种癌症的概率为0.5%,某人因患类似病症前去求医,医生让他做某项生化试验.经临床多次试验,患有该病的患者试验阳性率为95%,而非该病患者的试验的阳性率仅为10%.现该人化验结果呈阳性,问该人患癌症的概率. 解:完备事件：患有癌症、不患有癌症 设C=“患有癌症”,A=“试验为阳性”,则 甲乙丙 三人同时 射 击 一个也没有击中：P(A0) 只有一个人击中：P(A1) 有二个人击中： P(A2) 有三个人击中： P(A3) 飞机坠毁的情形 飞机 坠毁 （B） 分析 击中飞机的所有可能情形 1）根据分布函数的定义，将 FY(y) 用 FX(x) 表示； 2）根据分布函数与密度函数的关系，求出Y的概率密度. 分布函数法 例1.设随机变量X的分布函数为 求X的概率分布. 解:由F(x)形式知,F(x)在x=-1,1,3处有跳跃,即X在这些点处有大于0的概率. 因此,X的概率分布为: 0.2 0.4 0.4 P 3 1 -1 X 例2.汽车沿街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号显示的时间相等,以X表示汽车首次遇到红灯前已通过的路口个数.求X的概率分布. 解: X的所有可能取值为0,1,2,3.用Ai(i=1,2,3)表示事件“汽车在第I个路口首次遇到红灯”,A1,A2,A3相互独立,且 X的概率分布为: 1/8 1/8 1/4 1/2 P 3 2 1 0 X 说明:要正确写出离散型随机变量X的概率分布须注意: (1)正确写出X的值域;(2)一一算出它们取值的概率,并验证 例3.已知随机变量X的密度为 解:由 例4.某人家住市区西郊,工作单位在东郊,上班有两条路线可选择,一条是横穿市区,路程近,花费时间少,但堵塞严重,所需时间服从N(30,100).另一条路线沿环城公路,路程远,花费时间多,但堵塞较少,所需时间服从N(40,16).问: (1)如果上班前50分钟出发,应选哪一路线? (2)若上班前45分钟出发,又应选哪一路线? 解:选择路线的标准是使准时上班的概率越大越好. (1)有50分钟可用,准时上班的概率分别为: 按第一条路线N(30,100) 按第二条路线N(40,16) 故应选第二条路线. (2)只有45分钟可用,准时上班的概率分别为: 按第一条路线N(30,100) 按第二条路线N(40,16) 故应选第一条路线.