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利用fsolve命令求解 附近的根 Matlab中建立函数： function f=example1(x) f=x-exp(-x); 保存。 在Matlab窗口中依次输入： x0=0.5 Enter x=fsolve(‘example1’,x0) Enter x y O x* y = f(x) 例3-7 用弦截法求方程 附近的根。 解 取初值 ，计算结果见表6-7 表3-7 0.56714 0.56715 0.56754 0.6 0.5 xk 4 3 2 1 0 k * 第三章、非线性方程的数值解法 §3-1 引 言 非线性方程 (3-1) 的数值解法。其解称为方程的根，或函数 f(x) 的零点。 特别地，如果有 则称 a 为 f(x) 的 m 重零点或f(x)=0的m重根。当m=1时，称a 为 f(x) 的 单重零点或f(x)=0的单根。如果m1, 则称为m重根。方程的根可能是实根， 也可能是复根。 对于充分可微的函数f(x)，a 是 f(x) 的 m 重零点的充分必要条件是： 当（3-1）中的f(x) 为多项式 时，称方程（3-1）为代数方程。 当f(x)中含有三角函数、指数函数或其它超越函数时，称方程（3-1） 为超越方程。 例如： 求非线性方程根的常见问题： (1) 根的存在性。即方程有没有根？如果有根，有几个根？ (2) 根的分布。求出有根的区间。 (3) 根的精确化。即已知一个根的近似值后，设法获得较高精度的根。 §3-2 根的隔离与二分法 一、根的隔离 求 f(x)=0的根，需知道根的区域，也即根的隔离。 对于实方程，根的隔离是要确定一个区间(a,b), 使 f(x)=0 在(a,b) 区间只有一个根，区间(a,b)称为隔根区间。 定理：若f(x) 在[a,b]上连续，且f(a) f(b)0, 则方程f(x)=0在[a,b]内 至少有一个根。 隔根的常用方法：图解法、试验法 1.图解法 2.试验法 二、二分法 对于实方程f(x)=0，如果f(x)在区间[a,b]上连续, 且f(a) f(b)0, 则方程f(x)=0 在[a,b]内至少有一个根。假设区间(a,b)为隔根区间，即有唯一的实根x* . 二分法求实根x*近似值的思想： 取 , 若 ，则根 ； 若 ，则取 ，隔根区间为 且 ；反之，若 ，则取 . 新的隔根区间为 且 按照上述方法，反复二分下去，可得一系列有根区间： 其中 记 ，由于 从而 如果 为预定的精度，对充分大的k ，只要 ，则 以上求方程近似解的方法称为二分法。 例3-1 求方程 在区间[2,3]内实根的近似值， 并指出其误差。 解：用二分法。已知a=2, b=3, 且f(a)=-10, f(b)=160, 所以[2,3]是f(x)的有根区间。计算结果列于表3-1。 表3-1 2.1015625 2.109375 2.09375 6 + 2.109375 2.125 2.09375 5 - 2.09375 2.125 2.0625 4 - 2.0625 2.125 2 3 + 2.125 2.25 2 2 + 2.25 2.5 2 1 + 2.5 3 2 0 f(xk)的符号 xk bk ak k 取根的近似值为 , 则其误差限为 根的准确值为 x*=2.0945515 误差 §3-3 迭代法 一、迭代法的基本思想 将方程 f(x)=0 改写成等价形式 x=?(x) (3-2) 并取迭代格式： (3-3) 由此可得到一个数列： 如果?(x)连续且数列 收敛，则有 即x*为方程f(x)=0的一个根。 例3-2 用迭代法求方程 的根（已知方程 的一个根是 x=3.5311289）。 解：把原方程写成三种便于迭代的等价形式 (1) (2) (3) 表3-2（初值x0=3） 3.531 3.571 3 (3)x 3.592 3.454 3.632 3.405 3.699 3.326 3.810 3.2 4 3 (2)x -1151313 -1073 -33 7 3 (1)x 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 k 二、迭代法的收敛性 设方程 f(x)=0 的迭代格式为 迭代函数?(x)满足什么条件时迭代法收敛？误差如何估计？ 定理3-1 （收敛性定理） 设迭代函数?(x)在[a,b]上具有连续的一阶导数，且 (1) 当 (2) 存在正数L1，使对任意 , 有 成立； 则x=?(