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Discrete Math. , Yanxiu Sheng 集合论部分 集合论的起源与发展 集合论(Set Theory)是现代数学的基础．它的起源可追溯到16世纪末，主要是对数集进行卓有成效的研究． 集合论实际发展是由 19世纪 70年代德国数学家康托尔(G . Cantor) 在无穷序列和分析的有关课题的理论研究中创立的．康托尔对具有任意特性的无穷集合进入了深入的探讨，提出了关于基数、序数、超穷数和良序集等理论，奠定了集合论的深厚基础．因此，康托尔被誉为集合论的创始人． 集合论的起源与发展（续） 随着集合论的发展，以及它与数学哲学密切联系所作的讨论，在本世纪初，出现了许多似是而非、自相矛盾的悖论，如著名的罗素(B . A . W . Russell)悖论，有力冲击了或者说动摇了集合论的发展． 许多数学家哲学家为克服这些矛盾而建立了各种公理化集合论体系，其中尤以20世纪初、中期的ZFS(E . Zermelo, A . Fraenkel, T . Skolem)和NBG(Von Neurnann, P . Bernavs, K . G?del)公理化体系最为流行. 集合论的起源与发展（续） 到 20世纪 60年代，P . L . Cohen发明了强制方法而得到了关于连续统与选择公理的独立性成果，尔后的研究结果推陈出新，大量涌现． 在同一时代，美国数学家 L . A.Zadeh提出了Fuzzy集理论, 以及 20世纪80年代波兰数学家Z . Pawlak发表了Rough集理论，这两种理论区别于以往的集合论， 是一种新的模糊集理论，受到了学术界的重视和青睐，取得了喜人成果．还有多位著名学者也为集合论的发展作出了重要贡献． 集合论的起源与发展（续） 在此基础上以后就逐步形成了公理化集合论和抽象集合论，使该学科成为在数学中发展最为迅速的一个分支。 集合论观点已渗透到古典分析、泛函、概率、函数论以及信息论、排队论等现代数学各个领域。 康托尔的基本理论 康托尔集合论中的许多证明的一切定理均能从三个公理得出．这三个公理是: ①外延公理: 如果两个集合中各个元都是相同的则它们相等． ②抽象公理: 任给一个性质，都有一个满足该性质的客体所组成的集合． ③选择公理: 每个集合都有一个选择函数． 但是, 毛病却出在抽象公理上. 罗素悖论 罗素悖论：由“不为自身的成员这一性质的所有客体的集合”会导出矛盾. 论证 把抽象公理符号化为： (?y)(?x)(x∈y??(x)) (1) 其中, ?(x)是不以y为自由变元的公式. 把?(x)取为“x不为x的成员”,即?(x)=?(x∈x). 则罗素悖论符号化为 (?y)(?x)(x∈y??(x∈x)) (2) 在(2)中取x＝y，可得 (?y)(?y)(y∈y??(y∈y)) (3) 本篇的主要内容 集合代数 集合的概念和表示 集合的基本运算 集合的计数——包含排斥原理 3-1 集合的概念和表示法 集合的定义与表示 集合与元素 集合之间的关系 空集 全集 幂集 集合的定义 集合 没有精确的数学定义 理解：一些具有共同性质的东西 汇集成的整体 如：教室内的桌椅；图书馆的藏书，全国的高等学校、自然数的全体、直线上的点子等。 元素 组成集合中的事物 集合的字符表示 集合 A、B、C… 元素 a,b,c… 集合的分类 无限集：组成集合的元素个数是无限的 有限集：组成集合的元素个数是有限的 集合的表示方法 集合的表示方法 列元素法 A={a,b,c,d},B={1,2,3,4}, D={桌子，灯泡，自然数，老虎}, C={2,4,6,…,2m},S={a,a2, a3, …, an} 仅适用于有限集合。 谓词表示法 B={ x | P(x) } B 由使得 P(x) 为真的 x 构成 如， P(x) 表示x是正奇数，则B是所有正奇数的集合. 集合与元素 集合与元素的关系：隶属关系，属于∈，不属于? 1、a∈A表示a属于集合A ，亦称A包含a，或a在A之中，或a是A的成员。 2、a?A表示元素a不属于A ，亦称A不包含a，或a不在A中，或a不是A的成员。 实例， A={ x | x?R?x2-1=0 }, A={-1,1}，1?A, 2?A 注意：对于任何集合 A 和元素 x (可以是集合)， x?A和 x?A 两者成立其一，且仅成立其一. 隶属关系的层次结构 集合之间的