数学同步练习题考试题试卷教案华杯赛经典试题(三).docVIP

1. 请将算式的结果写成最简分数。 　　[] 这一道题，主要是检查同学们将循环小数化成分数的熟练程度。 [解法] 原式＝ 　　＝ 　　＝ 2. 将高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的三个圆柱组成一个物体。求这个物体的表面积。 　　[分析] 我们知道，底面半径r、高h的圆柱体表面积是S=2πr2＋2πrh．本题的物体由三个圆柱组成，如果分别求出三个圆柱的表面积，还得注意减去重叠部分的面积，算起来便麻烦多了。但是仔细观察后会发现，向上的三块表面积之和恰好是大圆柱的一个底面面积，这样便想到了简单的解法。 　　[解法] 物体的表面积恰好等于一个大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积。 　　2×π×1.52＋2×π×1.5×1＋2×π×1×1+2×π×0.5×1 　　=4.5π+3π＋2π＋π 　　=10.5π（平方米） 　　取π值为3，上式等于41.5（平方米）。 　　答：这个物体的表面积是41.5平方米。 　　[注] 因为三个圆柱的高都是1米，所以求三个圆柱侧面积之和时，还可以再简便些： 　　2π×（1.5＋1+0.5）＝6π。 中学生学过提取公因子知识，更应该想到这样简化的算法。这小小的简化可以使计算时间缩短几秒钟，这在初赛时可是很有用的哩！ 3. 有甲、乙两个同样的杯子，甲杯中有半杯清水，乙杯中盛满了含50％酒精的溶液。先将乙杯中酒精溶液的一半倒入甲杯，搅匀后，再将甲杯中酒精溶液的一半倒入乙杯。问这时乙杯中的酒精是溶液的几分之几？ 　　[分析] 对这类关于浓度计算的问题，只要能搞清楚溶质（这里是酒精）含量和溶液总量的变化，便很容易解决。 [解法] 列出每一次变化时二杯中溶液总量和酒精含量的数值 最后，乙杯酒精量是溶溶液总量的。 答：乙杯的酒精是溶液的。、 4. 电子跳蚤每跳一步，可从一个圆圈跳到相邻的圆圈。现在，一只红跳蚤从标有数字“0”的圆圈按顺时针方向跳了1991步，落在一个圆圈里。一只黑跳蚤也从标有数字“0”的圆圈起跳，但它是沿着逆时针方向跳了1949步，落在另一个圆圈里。问：这两个圆圈里数字的乘积是多少？ 　　[分析] 认真读两遍题，仔细研究一下右边的图，便不难发现：不管是红跳蚤、还是黑跳蚤，不管它们是从哪一个圆圈起跳，只要是沿着一个方向跳，每一步都跳到相邻的圆圈中，那么，一共12个圆圈，跳12步就回到开始起跳位置，又重复进行前面的过程，这样，不管它跳的步数有多么大，只要算出跳了多少圈（这个圈是指大圆圈）又多少步，就知道它落在标有数字多少的圆圈中了。当然，要注意它跳的方向。 　　[解] 电子跳蚤每跳12步就回到了原来位置。 　　∵ 1991=165×12＋11 　　∴红跳蚤从标有数字“0”的圆圈出发，按顺时针方向跳了1991步时，是跳了165个12步后跳到了标有数字“11”的圆圈。 　　同理，由1949=165×12+5知道黑跳蚤从标有数字“0”的圆圈按顺时针方向跳了162个12步后跳到了标有数字“7”的圆圈。 　　∴所求的乘积是11×7=77。 　　答：乘积是77。 　　[思考] 电子跳蚤“每跳12步回到原来位置”，这是一种周期变化。在日常生活中有周期现象的事物还有许多，如：一周是7天，一天是24小时，一年是12个月，又如：钟摆的运动，日、月的运动等，研究周期现象，也是数学的一个重要任务呢！ 这个题目，还可以变得更复杂一些，如：电子跳蚤跳步时有这样的周期性：第一步跳1个小圆圈（即到相邻圈），第二步跳2个小圆圈（即到隔1个圈的小圆圈处），第三步跳3个小圆圈（即到隔2个圈的小圆圈处），如此重复下去，……其它条件同原题一样，那么，怎么解呢？相信少年读者们能自己解决。 5. 已知：S＝ 　　S的整数部分。 　　〔分析〕这个题目看起来是不好下手的，显然不能对分母中的12个分数进行通分求和，那实在是太繁了。 　　由于题目只要求S的整数部分，所以只要知道S在哪两个整数之间就可以了。困难在于S的分母含有12个分数，太多了！必须设法减少分数的个数！ 我们发现： ＞＞＞…＞ 于是＜ ＝＝ 并且＞ ＝ 　　这样，就知道S的分母在和之间，也就知道S在165和之间，于是，达到了目的！ 〔解〕根据“一个分数，当分子不变而分母变大时，分数值变小；如果分子不变而分母变小时，分数值变大。”这个原理，可以知道 ＜ 并且 ＞ ∴S＞＝165并且S＜ 　　S的整数部分是165。 〔思考〕上面的解法中，主要是运用了“放”、“缩”的思想，这个思想很有用。本题中是用来进行数值估计。下面是两个类似的题，读者自己练习： （1）已知S＝，求S的整数部分。 （2）请在下面等式的方框中填上相同的一个自然数，使等式成立： 6．某玩具厂生产大小一样的正方体形状的积木，每个面分别涂上红、黄、蓝3种颜色中的1种，每色各涂2个面。当两个积木经过适当的翻动以后，能使各