函数的单调性和凸性.PDFVIP

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2018-02-16 发布于天津
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函数的单调性和凸性.PDF

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函数的单调性和凸性

§7 函数的单调性和凸性函数的导数描述了函数局部的变化形态（函数变化的快慢），本节将在微分中值定理的基础上，以导数为工具，从整体上研究函数的变化状况。 1 一、函数的单调性定理：设函数y =f (x) 在 [a, b] 上连续，在(a, b) 内可导，则f 在 [a, b] 上单调增加（单调减少）  x (a, b) f (x )  0 (f (x )  0) 成立。证：设f 在 [a, b] 上单调增加   x , x (a, b) x  x  有 f (x )  f (x )  0  x  x y B ∵f 在(a, b) 可导， y f (x )   f (x )  f (x ) A f (x ) lim  0  x x  x  x o a b x 2 f (x )  0  设在(a, b) 内f (x )  0 x , x [a, b] 假设x1  x 2 1 2 由微分中值定理  (a, b)  f (x ) f (x ) f ()(x x )  0 2 1 2 1 f (x )  f (x ) 即f 单调增加。 2 1 A y y f (x ) B o a b x f (x )  0 3 结论：如果函数f (x) 在 [a, b] 上连续，在(a, b) 内可导，且x (a , b ) 有 f (x )  0 (f (x )  0) 则f 在 [a, b] 上严格单调增加（严格单调减少）。求函