习题课无穷级数.PPT

无穷级数 第十一章 习题课 一 基本要求 1.理解级数收敛,发散的概念.了解级数的基本性 质,熟悉级数收敛的必要条件. 2.掌握正项级数收敛的比较判别法,熟练掌握正 项级数收敛的比值判别法. 3.掌握交错级数收敛的莱布尼兹判别法,理解绝 对收敛和条件收敛的概念. 4.掌握幂级数的收敛半径,收敛区间的求法.了解 幂级数的主要性质. 5.会求较简单函数的幂级数展开式及和函数. (一)常数项级数 1.级数收敛的必要条件:若 收敛,则 由此可得:若 则级数 必发散. 常用来判定级数是发散的.切不可用来判定级数 是收敛的,例如调和级数 就是发散的. 2.正项级数的判敛法 使用比较和比值判别法时,级数必须是正项的. 使用比较判别法时,必须熟记一些敛散性已知的正项级数作为“参照”级数,如 调和级数 ,等比级数 ,p-级数 对于任意项级数 若 收敛,则称 绝对收敛,绝对收敛的级数必收敛; 若 发散而 收敛,则称 条件收敛. 注意,若用正项级数的比值判别法判定 发 散,则级数 也发散. {收敛的端点} 或 {收敛的端点} 对于缺项的幂级数 可按下式 求出 的范围 从而得收敛区间为 4.函数展开成幂级数 (1)直接展开法: 展开,但必须证明余项的极限 这通常是较困难的. (2)间接展开法: 利用已知函数的展开式,通过恒等变形,变量代换,级数的代数运算及逐项求导或积分,把函数展开成幂级数. 注意两点: 第一,熟记几个常用初等函数的马克劳林展出式. 第二,根据已知展开式写出所求展开式相应的收敛区间. 逐项求导或积分后,原级数的收敛半径不变,但收敛区间可能会变. 几个常用初等函数的马克劳林展开式 1.试判断下列命题是否正确? (1)若 则 必定收敛. (2)设 是正项级数, c为大于零的常数,则 同敛散. 正项级数比较判别法的极限形式 设 为正项级数,若 则 同敛散. 2.下列运算是否正确? 若 均收敛,且对一切自然数 有 证明: 也收敛. 证明: 均收敛,由比较判别法知 收敛. 3.若级数 和 都收敛,则 绝对收敛. 由题意知, 和 收敛,故 也收敛, 根据正项级数的比较判别法可知 4.当下列条件( )成立时, 收敛 收敛. 当(c)成立时,由莱布尼兹定理可得. 当(d)成立时, 绝对收敛,因此必定收敛. 请练习下列题目,并总结运算规律. 判定下列级数的敛散性,若收敛,是绝对收敛还是条件收敛? 解1.级数为 由于一般项 所以发散. 2.由正项级数的比值判别法 所以级数收敛. 3.原级数为 由于 所以, 4. 是收敛的等比级数,所以原级数绝对收敛. 5.原级数可看作 由于 收敛,而 发散,由级数的基本 性质,原级数发散. (二)幂级数 1.下列运算是否正确? 求 的收敛区间. 解.由于 故收敛半径为 当 时, 可知在 点,原级数均发散,因此,收敛区间为 上述运算是错误的.原级数是仅含奇次幂的级数,即为缺项情形,应该用比值判别法来求收敛半径. 正确方法为: 当