[高等教育]4 解线性方程组的迭代法.ppt

第4章 解线性方程组的迭代法 §1 向量和矩阵范数 常用向量范数： ? 矩阵范数 Frobenius 范数 ? 谱半径 §2 线性方程组的误差分析 条件数 §3 Jacobi法和 Gauss-Seidel法 雅可比迭代公式为： 例：用雅可比方法解下列方程组 ? Gauss - Seidel 迭代法 例：用高斯-赛德尔法解下列方程组 §4 迭代法的收敛性 若事先给定误差控制精度 ，可得迭代次数的估计 例：用雅可比方法解下列方程组 注意： 定理4-15 推论 * 求解 思路 与解 f (x)=0 的不动点迭代相似 …… ，将 等价 改写为 形式，建立迭代 　 。从初值 出发，得到序列 。 计算精度可控，特别适用于求解系数为大型稀疏矩阵的方程组。 研究 内容： ? 如何建立迭代格式？　 ? 收敛速度？ ? 向量序列的收敛条件？ ? 误差估计？ —— 为了误差的度量 （正定性) (齐次性) ? 向量范数 定义 4-1 Rn空间的向量范数 || · || 对任意 满足下列条件： 对任意 （三角不等式) ? 向量范数的定义 向量 的Lp范数定义为 ? = = n i i x x 1 1 | | || || v ? = = n i i x x 1 2 2 | | || || v | | max || || 1 i n i x x ? ? ? = v 注： 例：计算 的三种范数 解： 　　　向量序列 收敛于向量 是指对每一个 1 ? i ? n 都有 。 定义 4-3 可以理解为 　　　若存在常数C 0 使得对任意 有 , 则称范数 || · ||A 比范数 || · ||B 强。 定义 4-4 　　　若范数 || · ||A 比|| · ||B 强，同时|| · ||B 也比|| · ||A 强，即存在常数 C1、C2 0 使得 ，则称 || · ||A 和|| · ||B 等价。 定义 4-5 定理 Rn 上一切范数都等价。 可以理解为对任何向量范数都成立。 定义 4-5 Rm?n空间的矩阵范数 || · || 对任意 满足： （正定性) 对任意 (齐次性) （三角不等式) (4)* || AB || ? || A || · || B || （相容 当 m = n 时) （行和范数） （列和范数） （谱范数 ） 矩阵 ATA 的最大 特征根 常用矩阵范数： — 向量|| · ||2的直接推广 对方阵 以及 有 利用Cauchy 不等式 可证。 解： 例：计算 的三种范数 　　　矩阵A的谱半径记为? (A) = ，其中?i 为 A 的特征根。 定义 4-9 Re Im ? ? ? ? ? ? ? ? ? (A) 定理 4-1 对任意算子范数 || · || 有 证明： 由算子范数的相容性，得到 将任意一个特征根 ? 所对应的特征向量 代入 此时方程的解为： 例：计算方程组 的解为 由于某种原因，第二个方程的系数有了一个小小的扰动（误差），变为： 求解 时，A 和 的误差对解 有何影响？ ? 设 A 精确， 有误差　 ，得到的解为 ，即 绝对误差放大因子 又 相对误差放大因子 ? 设 精确，A有误差 　 ，得到的解为 ，即 (只要? A充分小，使得 是关键 的误差放大因子，称为 A的条件数，记为cond (A) , 越 则 A 越病态， 难得准确解。 大 注: ? cond (A) 的具体大小与 || · || 的取法有关，但相对大小一致。