统计学 参数点估计.pptVIP

* 引言 前面，我们讨论了参数点估计. 它是用样本算得的一个值去估计未知参数. 但是，点估计值仅仅是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似值的误差范围，使用起来把握不大. 区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷 . 譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若我们根据一个实际样本，得到鱼数N的极大似然估计为1000条. 若我们能给出一个区间，在此区间内我们合理地相信 N 的真值位于其中. 这样对鱼数的估计就有把握多了. 实际上，N的真值可能大于1000条， 也可能小于1000条. 也就是说，我们希望确定一个区间，使我们能以比较高的可靠程度相信它包含真参数值. 湖中鱼数的真值 [ ] 这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的，称为置信概率，置信度或置信水平. 习惯上把置信水平记作 ，这里 是一个 很小的正数. 一、置信区间的概念 定义 设 为总体分布的未知参数， 取自总体 的一个样本， 对给定的数 若存在统计量 使得 则称随机区间 为 的 双侧置信区间, 称 为置信度， 是 又分别称 与 为 的双侧置信下 限与双侧置信上限. 注: 1. 置信度 的含义： 在随机抽样中， 若重复 抽样多次， 得到样本 的多个样本值 对应每个样本值都确定了一个置信区 间 每个这样的区间要么包含了 的真值, 不包含 的真值. 根据伯努利大数定理, 充分大时， 个， 当所样次数 这些区间中包含 的真值的区间大约有 要么 不包含 的真值的区间大约有 个. 例如， 若令 重复抽样100次， 则 其中大约有95个区间包含 的真值, 大约有5个区间 不包含 的真值. 2. 置信区间 也是对未知参数 的一种估计, 区间的长度意味着误差， 故区间估计与点估计是互 补的两种参数估计. 3. 置信度与估计精度是一对矛盾, 置信度 越 大, 置信区间 包含 的真值的概率就越大, 但 区间 的长度越长, 对未知参数 的估计精度就 越差. 反之, 对参数 的估计精度越高, 置信区间 长度就越小， 包含 的真值的概率就越低, 度 越小. 一般准则是： 在保证置信度的条件下尽可能提高估 计精度. 置信 二、寻求置信区间的方法 基本思想： 在点估计的基础上, 构造合适的含样本 有待估参数 的函数 且 的分布已知, 给定的置信度导出置信区间. 一般步骤： （1） （2） 且 的分布已知； 并针对 的某个较优估计量 选取未知参数 构造一个依赖于样本与参数 的函数 围绕 （3） 确定 与 使 对给定的置信水平 与 在常用分布情况下， 这可由分位数表查得； （4） 则 就是 的置信度为 的置信区间. 通常可选取满足 的 作恒等变形化为 对不等式 例1 设总体 为已知, 为未知, 设 是来自 的样本, 求 的置信水平为 的置信区间. 解 已知 是 的无偏估计, 而 不依赖于任何未知参数. 按标准正态分布 的双侧 分位数的定义, 且 有 这样, 就得到了 的一个置信水平为 的置信区间 常写成 若取 即 及 表得 则得到一个置信水平为0.95 查 的置信区间 则进一步得到一个置信水平为0.95的置信区间 这个区间的含义是: 若反复抽样多次, 每个样本值均 确定一个区间, 在这些区间中, 包含 的约占95%, 若由一个样本值得样本均值的观察值 或者说该区间属于包含 的区间的可信程度为95%. 例2 设总体 为未知参数, 是取自总体 的简单随机样本, 作为 的置信区间, 那么置信度是多少? 解 所以 从而 如果以区间 依题意 即 即 所求的置信度为96.6%. 完 分布参数的置信区间 考虑 分布情形， 设其总体 的分布律为 现求 的置信度为 的置信区间. 已知 分布的均值和方差分别为 设 是总体 的一个样本， 由中心极 限定理知， 当 充分大时， 三、 近似服从 分布, 对给定的置信度 有 经不等式变形得 其中 解式中不等式得 其中 于是 可作为 的置信度为 的置信区间. 例3 设抽自一大批产品的100个样品中, 得一级品60 个, 求这批产品的一级品率 的置信水平为0.95的置 信区间. 解 一级品率 是 分布的参数, 此处 现按上述方法来求 的置信区间, 其中, 于是 完 故得 的一个置信水平为 的近似置信区间为 0.95 *