06年大连市数学竞赛.doc

2006年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、填空题：(本题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.) 选择题：(本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) （1）. （2）微分方程的通解是 . （3）设是锥面（）的下侧，则 . （4）点到平面的距离= . （5）设矩阵，为2阶单位矩阵，矩阵满足，则= . （6）设随机变量与相互独立，且均服从区间[0, 3]上的均匀分布，则= . 二、选择题：(本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) （7）设函数具有二阶导数，且，为自变量在处的增量，与分别为在点处对应的增量与微分，若，则 （A） （B） （C） （D） 【 】 （8）设为连续函数，则等于 （A） （B） （C） （C） 【 】 （9）若级数收敛，则级数 （A）收敛. （B）收敛. （C）收敛. （D）收敛. 【 】 （10）设与均为可微函数，且. 已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是 （A）若，则. （B）若，则. （C）若，则. （D）若，则. 【 】 （11）设均为维列向量，是矩阵，下列选项正确的是 （A）若线性相关，则线性相关. （B）若线性相关，则线性无关. （C）若线性无关，则线性相关. （D）若线性无关，则线性无关. 【 】 （12）设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的-1倍加到第2列得，记，则 （A） （B） （C） （D） 【 】 （13）设为随机事件，且，则必有 （A） （B） （C） （D） 【 】 （14）设随机变量服从正态分布，服从正态分布，且 则 （A） （B） （C） （D） 【 】 三、解答题：（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （15）设区域D=,计算二重积分 。 （16）设数列满足 。 求: (Ⅰ)证明存在,并求之 。 (Ⅱ)计算 。 （17）将函数展开成x的幂级数 。 （18）设函数在内具有二阶导数，且满足等式 。 (Ⅰ) 验证. (Ⅱ) 若. （19）设在上半平面D=内,数是有连续偏导数,且对任意的t0都有. 证明: 对L内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有 （20）已知非齐次线性方程组 （Ⅰ）证明方程组系数矩阵A的秩 （Ⅱ）求的值及方程组的通解 （21） 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量是线性方程组A=0的两个解, (Ⅰ)求A的特征值与特征向量 (Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得. （22）随机变量x的概率密度为为二维随机变量(X,Y)的分布函数. (Ⅰ) 求Y的概率密度 (Ⅱ) （23 ）设总体X的概率密度为,其中是未知参数， 为来自总体X的简单随机样本,记N为样本值,中小于1的个数，求的最大似然估计. 9